Cofree коалгебра

В алгебре косвободная коалгебра векторного пространства или модуля — это аналог свободной алгебры векторного пространства. Косвободная коалгебра любого векторного пространства над полем существует, хотя она сложнее, чем можно было бы ожидать по аналогии со свободной алгеброй.

Определение

Если V — векторное пространство над полем F , то косвободная коалгебра C  ( V ) из V является коалгеброй вместе с линейным отображением C  ( V ) → V , таким, что любое линейное отображение из коалгебры X в V пропускается через гомоморфизм коалгебр из X в C  ( V ). Другими словами, функтор C является правым сопряженным к забывающему функтору из коалгебр в векторные пространства.

Косвободная коалгебра векторного пространства всегда существует и единственна с точностью до канонического изоморфизма .

Косвободные кокоммутативные коалгебры определяются аналогичным образом и могут быть построены как наибольшая кокоммутативная коалгебра в косвободной коалгебре.

Строительство

C  ( V ) может быть построено как пополнение тензорной коалгебры T ( V ) тензора V . Для k ∈ N = {0, 1, 2, ...} пусть T ^k V обозначает k -кратную тензорную степень тензора V :

${\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,}$

с T ⁰ V = F и T ¹ V = V. Тогда T ( V ) является прямой суммой всех T ^k V :

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .}$

В дополнение к структуре градуированной алгебры, заданной изоморфизмами тензорного произведения T ^j V ⊗ T ^k V → T ^{j + k} V для j , k ∈ N , T ( V ) имеет структуру градуированной коалгебры Δ : T ( V ) → T ( V ) ⊠ T ( V ), определяемую расширением

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})}$

по линейности ко всем T ( V ).

Здесь символ тензорного произведения ⊠ используется для обозначения тензорного произведения, используемого для определения коалгебры; его не следует путать с тензорным произведением ⊗, которое используется для определения оператора билинейного умножения тензорной алгебры. Они действуют в разных пространствах, на разных объектах. Дополнительное обсуждение этого момента можно найти в статье о тензорной алгебре .

Сумма выше использует прием стенографии, определяя как единицу в поле . Например, этот прием стенографии дает, для случая в сумме выше, результат, что ${\displaystyle v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1}$

для . Аналогично, для и , получаем ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle v,w\in V}$

${\displaystyle \Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.}$

Обратите внимание, что нет необходимости когда-либо писать, поскольку это просто обычное скалярное умножение в алгебре; то есть, можно тривиально получить, что ${\displaystyle 1\otimes v}$ ${\displaystyle 1\otimes v=1\cdot v=v.}$

С обычным произведением это копроизведение не превращает T ( V ) в биалгебру , но вместо этого является двойственным к структуре алгебры на T ( V ^∗ ), где V ^∗ обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F . Его можно превратить в биалгебру с произведением , где (i,j) обозначает биномиальный коэффициент . Эта биалгебра известна как алгебра Хопфа с разделенной степенью . Произведение является двойственным к структуре коалгебры на T ( V ^∗ ), что делает тензорную алгебру биалгеброй. ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}}$ ${\displaystyle {\tbinom {i+j}{i}}}$

Здесь элемент T ( V ) определяет линейную форму на T ( V ^∗ ) с помощью невырожденных пар

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

индуцированное оценкой, и двойственность между копроизведением на T ( V ) и произведением на T ( V ^∗ ) означает, что

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

Эта двойственность распространяется на невырожденное спаривание

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

где

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

является прямым произведением тензорных степеней V . (Прямая сумма T ( V ) является подпространством прямого произведения, для которого только конечное число компонентов ненулевые.) Однако копроизведение Δ на T ( V ) продолжается только до линейного отображения

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

со значениями в завершенном тензорном произведении , которое в данном случае равно

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

и содержит тензорное произведение как собственное подпространство:

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ s.t. }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

Завершенная тензорная коалгебра C  ( V ) — это наибольшее подпространство C,   удовлетворяющее

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ and }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

который существует, потому что если C ₁ и C ₂ удовлетворяют этим условиям, то и их сумма C ₁ + C ₂ удовлетворяет этим условиям .

Оказывается ^[1] , что C  ( V ) является подпространством всех представительных элементов :

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

Более того, по принципу конечности для коалгебр любая f ∈ C  ( V ) должна принадлежать конечномерной подкоалгебре C  ( V ). Используя сопряжение двойственности с T ( V ^∗ ), следует, что f ∈ C  ( V ) тогда и только тогда, когда ядро ​​f на T ( V ^∗ ) содержит двусторонний идеал конечной коразмерности. Эквивалентно,

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

является объединением аннигиляторов I  ⁰ идеалов конечной коразмерности I   в T ( V ^∗ ), которые изоморфны двойственным элементам конечномерных алгебраических факторов T ( V ^∗ )/ I .

Пример

Когда V = F , T ( V ^∗ ) — это алгебра многочленов F [ t ] от одной переменной t , а прямое произведение

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

может быть отождествлено с векторным пространством F [[ τ ]] формальных степенных рядов

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}}$

в неопределенном τ . Копроизведение Δ на подпространстве F [ τ ] определяется как

${\displaystyle \Delta (\tau ^{k})=\sum _{i+j=k}\tau ^{i}\otimes \tau ^{j}}$

и C  ( V ) — наибольшее подпространство F [[ τ ]], на котором это расширяется до структуры коалгебры.

Двойственность F [[ τ ]] × F [ t ] → F определяется соотношением τ ^j ( t ^k ) = δ _jk , так что

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}b_{k}t^{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b_{k}.}$

Полагая t = τ ⁻¹ , это постоянный член в произведении двух формальных рядов Лорана . Таким образом, если задан полином p ( t ) с ведущим членом t ^N , формальный ряд Лорана

${\displaystyle {\frac {\tau ^{j-N}}{p(\tau ^{-1})}}={\frac {\tau ^{j}}{\tau ^{N}p(\tau ^{-1})}}}$

является формальным степенным рядом для любого j ∈ N и аннулирует идеал I ( p ), порожденный p для j < N . Поскольку F [ t ]/ I ( p ) имеет размерность N , эти формальные степенные ряды охватывают аннулятор I ( p ). Более того, все они принадлежат локализации F [ τ ] в идеале, порожденном τ , т. е. они имеют вид f ( τ )/ g ( τ ) , где f и g являются многочленами, а g имеет ненулевой постоянный член. Это пространство рациональных функций от τ , которые регулярны в нуле. Наоборот, любая правильная рациональная функция аннулирует идеал вида I ( p ).

Любой ненулевой идеал F [ t ] является главным с конечномерным фактором. Таким образом, C  ( V ) является суммой аннуляторов главных идеалов I ( p ), т.е. пространством рациональных функций, регулярных в нуле.

Ссылки

1. Хазевинкель 2003

• Блок, Ричард Э.; Леру, Пьер (1985), «Обобщенные дуальные коалгебры алгебр с приложениями к косвободным коалгебрам», Журнал чистой и прикладной алгебры , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN  0022-4049, MR  0782637
• Хазевинкель, Михиль (2003), «Косвободные коалгебры и многомерная рекурсивность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 183 (1): 61–103, doi :10.1016/S0022-4049(03)00013-6, ISSN  0022-4049, MR  1992043
• cofree коалгебра в n Lab