Состав функции

Операции над математическими функциями

В математике оператор композиции берет две функции и и возвращает новую функцию . Таким образом, функция g применяется после применения f к x . ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))}$

Обратная композиция , иногда обозначаемая , применяет операцию в обратном порядке, применяя первую и вторую. Интуитивно, обратная композиция — это процесс цепочки, в котором выход функции f подает вход функции g . ${\displaystyle f\mapsto g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Композиция функций является частным случаем композиции отношений , иногда также обозначаемой как . В результате все свойства композиции отношений верны для композиции функций ^[1] , такие как ассоциативность. ${\displaystyle \circ }$

Примеры

Конкретный пример композиции двух функций.

• Композиция функций на конечном множестве: если f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} и g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , то g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , как показано на рисунке.
• Композиция функций на бесконечном множестве : если f : R → R (где R — множество всех действительных чисел ) задается как f ( x ) = 2 x + 4 , а g : R → R задается как g ( x ) = x ³ , то:
  ( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x ³ ) = 2 x ³ + 4 , и
  ( г ∘ f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) ³ .
• Если высота полета самолета в момент времени  t равна a ( t ) , а давление воздуха на высоте x равно p ( x ) , то ( p ∘ a )( t ) — это давление вокруг самолета в момент времени  t .

Характеристики

Композиция функций всегда ассоциативна — свойство, унаследованное от композиции отношений . ^[1] То есть, если f , g и h являются компонуемыми, то f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . ^[2] Поскольку скобки не меняют результат, их обычно опускают.

В строгом смысле композиция g  ∘  f имеет смысл только в том случае, если область значений f равна области значений g ; в более широком смысле достаточно, чтобы первая была несобственным подмножеством последней. ^{[nb 1]} Более того, часто бывает удобно неявно ограничить область значений f , так что f выдает только значения в области значений g . Например, композиция g  ∘  f функций f  : R → (−∞,+9], определяемых соотношением f ( x ) = 9 − x ² , и g  : [0,+∞) → R , определяемых соотношением , может быть определена на интервале [−3,+3] . ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

Композиции двух действительных функций, абсолютного значения и кубической функции , в разных порядках показывают некоммутативность композиции.

Говорят, что функции g и f коммутируют друг с другом, если g  ∘  f = f  ∘  g . Коммутативность — это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто в особых обстоятельствах. Например, | x | + 3 = | x + 3 | только когда x ≥ 0 . На рисунке показан другой пример.

Композиция взаимно-однозначных (инъективных) функций всегда взаимно-однозначна. Аналогично композиция сюръективных (онто) функций всегда сунто. Из этого следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (предполагаемой обратимой) обладает тем свойством, что ( f  ∘  g ) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ . ^[3]

Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, можно найти с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций задаются формулой Фаа ди Бруно . ^[2]

Композиция функций иногда описывается как своего рода умножение в функциональном пространстве, но имеет совершенно иные свойства, чем поточечное умножение функций (например, композиция не является коммутативной ). ^[4]

Композиционные моноиды

Предположим, что у нас есть две (или более) функции f : X → X , g : X → X , имеющие одинаковую область определения и область значений; их часто называют преобразованиями . Тогда можно сформировать цепочки преобразований, составленных вместе, например, f ∘ f ∘ g ∘ f . Такие цепочки имеют алгебраическую структуру моноида , называемого моноидом преобразования или (гораздо реже) моноидом композиции . В общем случае моноиды преобразования могут иметь удивительно сложную структуру. Одним из наиболее примечательных примеров является кривая де Рама . Множество всех функций f : X → X называется полной полугруппой преобразований ^[5] или симметричной полугруппой ^[6] на  X . (На самом деле можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определяется операция полугруппы как левая или правая композиция функций. ^[7] )

Композиция отображения сдвига (красный) и поворота по часовой стрелке на 45° (зеленый) . Слева — исходный объект. Сверху — сдвиг, затем поворот. Снизу — поворот, затем сдвиг.

Если преобразования являются биективными (и, следовательно, обратимыми), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и говорят, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат в теории групп, теорема Кэли , по сути, утверждает, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы перестановок (с точностью до изоморфизма ). ^[8]

Множество всех биективных функций f : X → X (называемых перестановками ) образует группу относительно композиции функций. Это симметрическая группа , также иногда называемая группой композиции .

В симметрической полугруппе (всех преобразований) также можно найти более слабое, неоднозначное понятие обратного (называемое псевдообратным), поскольку симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . ^[9]

Функциональные полномочия

Если Y ⊆ X , то f : X → Y может составить саму себя; это иногда обозначается как f ^2. То есть:

( f ∘ f )(x) = f ( f ( x )) = f  ² ( x )

( ф ∘ ф ∘ ф )(х) = ф ( ф ( ф ( х ))) = ф  ³ ( х )

( ф ∘ ф ∘ ф ∘ ф )(х) = ф ( ф ( ф ( ф ( х )))) = ф  ⁴ ( х )

В более общем случае для любого натурального числа n ≥ 2 n-я функциональная степень может быть определена индуктивно как f ⁿ = f ∘ f ^{n −1} = f ^{n −1} ∘ f , обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманном ^{[ требуется ссылка ] [10] [11]} и Джоном Фредериком Уильямом Гершелем . ^{[12] [10] [13] [11]} Повторная композиция такой функции с самой собой называется итерацией функции .   

• По соглашению f  ⁰ определяется как тождественная карта в домене f ,  id _X .
• Если Y = X и f : X → X допускает обратную функцию f  ⁻¹ , отрицательные функциональные степени f  ^{− n} определяются для n > 0 как отрицательная степень обратной функции: f  ^{− n} = ( f  ⁻¹ ) ⁿ . ^{[12] [10] [11]}

Примечание: Если f принимает свои значения в кольце (в частности, для действительной или комплексной f  ), существует риск путаницы, так как f  ⁿ может также обозначать n -кратное произведение  f , например, f  ² ( x ) = f ( x ) · f ( x ) . ^[11] Для тригонометрических функций обычно подразумевается последнее, по крайней мере для положительных показателей. ^[11] Например, в тригонометрии эта надстрочная нотация представляет стандартное возведение в степень при использовании с тригонометрическими функциями :

грех ² ( Икс ) знак равно грех ( Икс ) · грех ( Икс ) .

Однако для отрицательных показателей (особенно −1) это все равно обычно относится к обратной функции, например, tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan .

В некоторых случаях, когда для заданной функции f уравнение g ∘ g = f имеет единственное решение g , эта функция может быть определена как функциональный квадратный корень из f , затем записана как g = f  ^1/2 .

В более общем случае, когда g ⁿ = f имеет единственное решение для некоторого натурального числа n > 0 , то f  ^{m / n} можно определить как g ^m .

При дополнительных ограничениях эта идея может быть обобщена так, что число итераций становится непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерированные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .

Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики ^{[ требуется ссылка ]} предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ^{∘ n} ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, f ^∘3 ( x ) означает f ( f ( f ( x ))) . Для той же цели f ^{[ n ]} ( x ) использовал Бенджамин Пирс ^{[14] [11]} , тогда как Альфред Принсхейм и Жюль Молк предложили вместо этого ⁿ f ( x ) . ^{[15] [11] [nb 2]}

Альтернативные обозначения

Многие математики, особенно в теории групп , опускают символ композиции, записывая gf вместо g ∘ f . ^[16]

В середине 20-го века некоторые математики приняли постфиксную нотацию , записывая xf  вместо f ( x ) и ( xf ) g вместо g ( f ( x )) . ^[17] Это может быть более естественным, чем префиксная нотация во многих случаях, например, в линейной алгебре, когда x является вектором-строкой , а f и g обозначают матрицы , а композиция получается путем умножения матриц . Порядок важен, поскольку композиция функций не обязательно коммутативна. Наличие последовательных преобразований, применяемых и составляющих справа, согласуется с последовательностью чтения слева направо.

Математики, использующие постфиксную нотацию, могут писать « fg », что означает сначала применить f, а затем применить g , в соответствии с порядком, в котором символы встречаются в постфиксной нотации, тем самым делая запись « fg » неоднозначной. Специалисты по информатике могут писать « f  ; g » для этого, ^[18] тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить оператор левой композиции от текстовой точки с запятой, в нотации Z символ ⨾ используется для композиции левого отношения . ^[19] Поскольку все функции являются бинарными отношениями , корректно использовать точку с запятой [fat] также для композиции функций (см. статью о композиции отношений для получения более подробной информации об этой нотации).

Оператор композиции

Для данной функции  g оператор композиции C _g определяется как оператор , который отображает функции в функции вида Операторы композиции изучаются в области теории операторов . $${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$

В языках программирования

Композиция функций в той или иной форме встречается во многих языках программирования .

Многомерные функции

Частичная композиция возможна для многомерных функций . Функция, получающаяся при замене некоторого аргумента x _i функции f функцией g , в некоторых контекстах компьютерной инженерии называется композицией f и g и обозначается f | _{x i = g} $${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

Когда g является простой константой b , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или сомножитель . ^[20]

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

В общем случае композиция многомерных функций может включать несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивной рекурсивной функции . Если заданы f , n -арная функция и n m -арных функций g ₁ , ..., g _n , композиция f с g ₁ , ..., g _n является m -арной функцией $${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

Это иногда называют обобщенным составом или суперпозицией f с g ₁ , ..., g _n . ^[21] Частичная композиция только в одном аргументе, упомянутая ранее, может быть реализована из этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, в качестве подходящим образом выбранных проекционных функций . Здесь g ₁ , ..., g _n можно рассматривать как один вектор/ кортежную функцию в этой обобщенной схеме, и в этом случае это в точности стандартное определение композиции функций. ^[22]

Набор конечных операций на некотором базовом множестве X называется клоном , если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Клон обычно содержит операции различных арностей . ^[21] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; говорят, что функция f арности n коммутирует с функцией g арности m, если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, то есть: ^[21] $${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно относится к бинарной (или более высокоарной) операции. Бинарная (или более высокоарная) операция, которая коммутирует сама с собой, называется медиальной или энтропийной . ^[21]

Обобщения

Композиция может быть обобщена на произвольные бинарные отношения . Если R ⊆ X × Y и S ⊆ Y × Z — два бинарных отношения, то их композиция сводится к

${\displaystyle R\circ S=\{(x,z)\in X\times Z:(\exists y\in Y)((x,y)\in R\,\land \,(y,z)\in S)\}}$.

Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению для композиции отношений. Маленький кружок R ∘ S использовался для инфиксной записи композиции отношений , а также функций. Однако при использовании для представления композиции функций последовательность текста меняется на противоположную, чтобы проиллюстрировать различные последовательности операций соответствующим образом. ${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$

Композиция определяется таким же образом для частичных функций , и теорема Кэли имеет свой аналог, называемый теоремой Вагнера–Престона . ^[23]

Категория множеств с функциями в качестве морфизмов является прототипической категорией . Аксиомы категории фактически вдохновлены свойствами (а также определением) композиции функций. ^[24] Структуры, заданные композицией, аксиоматизируются и обобщаются в теории категорий с помощью концепции морфизма как теоретико-категорной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле ( f  ∘  g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ ∘ f  ⁻¹ ) применяется для композиции отношений, использующих обратные отношения , и, таким образом, в теории групп . Эти структуры образуют кинжальные категории .

Стандартный «фундамент» математики начинается с множеств и их элементов . Можно начать иначе, аксиоматизируя не элементы множеств, а функции между множествами. Это можно сделать, используя язык категорий и универсальных конструкций.

... отношение принадлежности для множеств часто можно заменить операцией композиции для функций. Это приводит к альтернативному основанию математики на категориях — в частности, на категории всех функций. Теперь большая часть математики является динамической, поскольку она имеет дело с морфизмами объекта в другой объект того же вида. Такие морфизмы ( подобно функциям ) образуют категории, и поэтому подход через категории хорошо соответствует цели организации и понимания математики. Это, по правде говоря, должно быть целью надлежащей философии математики.

- Сондерс Маклейн , Математика: Форма и Функция ^[25]

Типографика

Символ композиции ∘ кодируется как U+2218 ∘ RING OPERATOR ( ∘, ∘ ); см. статью Символ степени для похожих символов Unicode. В TeX это записывается .\circ

Смотрите также

• Паутинный график – графический прием функциональной композиции.
• Комбинаторная логика
• Кольцо композиции , формальная аксиоматизация операции композиции
• Поток (математика)
• Композиция функций (информатика)
• Функция случайной величины , распределение функции случайной величины
• Функциональная декомпозиция
• Функциональный квадратный корень
• Функция высшего порядка
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Лямбда-исчисление

Примечания

1. Строгий смысл используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества явно моделируется функцией включения .
2. ⁿ f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молька (1907) для обозначения композиций функций не следует путать с обозначением ⁿ x Рудольфа фон Биттера Рюккера (1982) , введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луисом Гудштейном (1947) для тетрации , или с обозначением ⁿ x с предварительным надстрочным индексом для корней Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) .

Ссылки

1. Velleman, Daniel J. (2006). Как это доказать: структурированный подход. Cambridge University Press . стр. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
2. Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
3. Роджерс, Нэнси (2000). Обучение рассуждению: введение в логику, множества и отношения. John Wiley & Sons . стр. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.
4. "3.4: Композиция функций". Mathematics LibreTexts . 2020-01-16 . Получено 2020-08-28 .
5. Холлингс, Кристофер (2014). Математика через железный занавес: История алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество . стр. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
6. Гриле, Пьер А. (1995). Полугруппы: Введение в теорию структур. CRC Press . стр. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
7. Домёси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория автоматных сетей: Введение. СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
8. Картер, Натан (2009-04-09). Визуальная теория групп. MAA. стр. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
9. Ганюшкин, Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические конечные полугруппы преобразований: введение. Springer Science & Business Media . стр. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
10. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: напечатано Дж. Смитом, продано Дж. Дейтоном и сыновьями. стр. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-08-04 .[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
11. Cajori, Florian (1952) [март 1929]. "§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Нотация Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций". История математических обозначений. Т. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года, 2-е изд.). Чикаго, США: Open court publishing company . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18 . […] §473. Повторные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символику, использованную Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Encyclopédie : « ² log _b  a = log _b (log _b  a ), …, ^{k +1} log _b  a = log _b ( ^k log _b  a )». ^[a] […] §533. Обозначение Джона Гершеля для обратных функций, sin ⁻¹  x , tan ⁻¹  x и т. д., было опубликовано им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эту запись cos. ⁻¹  e не следует понимать как обозначение 1/cos.  e , но то, что обычно записывается так, arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m  A вместо (cos.  A ) ^m , но он оправдывает свою собственную нотацию, указывая, что поскольку d ²  x , Δ ³  x , Σ ²  x означают dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x , мы должны писать sin. ²  x вместо sin. sin.  x , log. ³  x вместо log. log. log.  x . Так же, как мы пишем d ^{− n}  V=∫ ⁿ  V , мы можем аналогично записать sin. ⁻¹  x =arc (sin.= x ), log. ⁻¹  x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹  x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурманна , в которой то же самое объясняется в значительно более раннюю дату. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и он, по-видимому, вообще не знаком с обратным исчислением функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и самые обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, по-видимому, оправдывают ее всеобщее принятие». ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратной функции. — […] Использование нотаций Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «cos ^[−1]  x », «log ^[−1]  x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных нотации  , а именно, (sin  x ) ² , sin  x ² , sin ²  x . В настоящее время преобладающей нотацией является sin ²  x , хотя первая из них, по всей вероятности, быть неверно истолкована. В случае sin ²  x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin  x ⋅ sin  x ; во-вторых, ^[d] sin (sin  x ). Поскольку функции последнего типа обычно не встречаются, опасность неверной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ²  x , где log  x ⋅ log  x и log (log  x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение sin ⁿ  x для (sin  x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. […](xviii+367+1 страниц, включая 1 страницу приложений) (Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
12. Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котеса». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 103 (часть 1). Лондон: Royal Society of London , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi :10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR  107384. S2CID  118124706.
13. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
14. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Т. I (новое издание). Бостон, США. С. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
15. Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Том. И. п. 195. Часть I.
16. Иванов, Олег А. (2009-01-01). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. Американское математическое общество . стр. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
17. Галье, Жан (2011). Дискретная математика. Спрингер. п. 118. ИСБН 978-1-4419-8047-2.
18. Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для вычислительной науки (PDF) . стр. 6. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2014-08-23 .(Примечание. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной издательством Prentice Hall в 1990 году под номером ISBN 978-0-13-120486-7 .) 
19. ISO/IEC 13568:2002(E), стр. 23
20. Брайант, Р. Э. (август 1986 г.). «Логические алгоритмы минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . IEEE Transactions on Computers . C-35 (8): 677–691. doi :10.1109/tc.1986.1676819. S2CID  10385726.
21. Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. CRC Press . стр. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
22. Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений. John Wiley & Sons . стр. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
23. Липскомб, С. (1997). Симметричные обратные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. стр. xv. ISBN 0-8218-0627-0.
24. Хилтон, Питер; Ву, Йель-Чианг (1989). Курс современной алгебры. John Wiley & Sons . стр. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.
25. "Saunders Mac Lane - Цитаты". История математики . Получено 2024-02-13 .

Внешние ссылки

• «Составная функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Композиция функций» Брюса Этвуда, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.