Спектральная асимметрия

В математике и физике спектральная асимметрия — это асимметрия в распределении спектра собственных значений оператора . В математике спектральная асимметрия возникает при изучении эллиптических операторов на компактных многообразиях и приобретает глубокий смысл благодаря теореме Атьи-Зингера об индексе . В физике она имеет многочисленные приложения, обычно приводящие к дробному заряду из-за асимметрии спектра оператора Дирака . Например, вакуумное ожидание барионного числа задается спектральной асимметрией оператора Гамильтона . Спектральная асимметрия ограниченных кварковых полей является важным свойством модели кирального мешка . Для фермионов она известна как индекс Виттена и может пониматься как описание эффекта Казимира для фермионов.

Определение

Если задан оператор с собственными значениями , равное количество которых положительны и отрицательны, то спектральную асимметрию можно определить как сумму ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle B=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\exp(-t|\omega _{n}|)}$

где — функция знака . Могут использоваться и другие регуляторы , например, регулятор дзета-функции . ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Необходимость наличия как положительного, так и отрицательного спектра в определении является причиной того, что при изучении операторов Дирака обычно возникает спектральная асимметрия .

Пример

В качестве примера рассмотрим оператор со спектром

${\displaystyle \omega _{n}=n+\alpha }$

где n — целое число, пробегающее все положительные и отрицательные значения. Можно показать простым способом, что в этом случае подчиняется для любого целого числа , и что для мы имеем . Таким образом, график представляет собой периодическую пилообразную кривую. ${\displaystyle B(\alpha )}$ ${\displaystyle B(\alpha )=B(\alpha +m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle B(\alpha )=1/2-\alpha }$ ${\displaystyle B(\alpha )}$

Обсуждение

Со спектральной асимметрией связано вакуумное ожидание энергии, связанной с оператором, энергия Казимира , которая определяется выражением

${\displaystyle E=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}|\omega _{n}|\exp(-t|\omega _{n}|)}$

Эта сумма формально расходится, и расхождения необходимо учитывать и устранять с помощью стандартных методов регуляризации.

Ссылки

• М. Ф. Атья, В. К. Патоди и И. М. Зингер, Спектральная асимметрия и риманова геометрия I , Proc. Camb. Phil. Soc., 77 (1975), 43-69.
• Линас Вепстас, А.Д. Джексон, А.С. Гольдхабер, Двухфазные модели барионов и хиральный эффект Казимира , Physics Letters B140 (1984) стр. 280-284.
• Линас Вепстас, А.Д. Джексон, Обоснование хирального мешка , Physics Reports, 187 (1990) стр. 109-143.