Спектр (функциональный анализ)

Набор собственных значений матрицы

В математике , особенно в функциональном анализе , спектр ограниченного линейного оператора (или, шире, неограниченного линейного оператора ) является обобщением множества собственных значений матрицы . В частности, говорят, что комплексное число принадлежит спектру ограниченного линейного оператора, если ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

• либо не имеет теоретико-множественного обратного ;
• или теоретико-множественное обратное либо неограничено, либо определено на неплотном подмножестве. ^[1]

Здесь — идентификационный оператор. ${\displaystyle I}$

По теореме о замкнутом графике , находится в спектре тогда и только тогда, когда ограниченный оператор небиективен на . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$ ${\displaystyle V}$

Исследование спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория , которая имеет множество приложений, в первую очередь математическую формулировку квантовой механики .

Спектр оператора в конечномерном векторном пространстве представляет собой в точности набор собственных значений. Однако оператор в бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и не иметь собственных значений. Например, рассмотрим оператор сдвига вправо R в гильбертовом пространстве ℓ 2 ,

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

У него нет собственных значений, так как если Rx = λx , то, разложив это выражение, мы увидим, что x ₁ =0, x ₂ =0 и т. д. С другой стороны, 0 находится в спектре, поскольку, хотя оператор R  − 0 (т. е. R само по себе) обратимо, обратное определяется на множестве, которое не плотно в ℓ 2 . Фактически каждый ограниченный линейный оператор в комплексном банаховом пространстве должен иметь непустой спектр.

Понятие спектра распространяется на неограниченные (т.е. не обязательно ограниченные) операторы. Говорят, что комплексное число λ находится в спектре неограниченного оператора, определенного в области определения, если не существует ограниченного обратного , определенного во всем операторе . Если T замкнуто (включая случай, когда T ограничено), ограниченность оператора автоматически следует из его существование. ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

Пространство ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X является примером банаховой алгебры с единицей . Поскольку в определении спектра не упоминаются какие-либо свойства B ( X ), кроме тех, которыми обладает любая такая алгебра, понятие спектра можно обобщить на этот контекст, дословно используя то же определение.

Спектр ограниченного оператора

Определение

Пусть – ограниченный линейный оператор , действующий в банаховом пространстве над комплексным скалярным полем , и – тождественный оператор на . Спектр — это множество всех , для которых оператор не имеет обратного, являющегося ограниченным линейным оператором. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Поскольку это линейный оператор, обратный оператор является линейным, если он существует; и по ограниченной обратной теореме оно ограничено. Поэтому спектр состоит именно из тех скаляров, для которых не является биективным . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Спектр данного оператора часто обозначается , а его дополнение — резольвентное множество — . ( иногда используется для обозначения спектрального радиуса ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle T}$

Связь с собственными значениями

Если является собственным значением , то оператор не является взаимно однозначным, и поэтому его обратный не определен. Однако обратное утверждение неверно: оператор может не иметь обратного, даже если он не является собственным значением. Таким образом, спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается ими. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \lambda }$

Например, рассмотрим гильбертово пространство , состоящее из всех бибесконечных последовательностей действительных чисел. ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

которые имеют конечную сумму квадратов . Оператор двустороннего сдвига просто смещает каждый элемент последовательности на одну позицию; а именно, если тогда для каждого целого числа . Уравнение собственных значений не имеет ненулевого решения в этом пространстве, поскольку оно подразумевает, что все значения имеют одинаковое абсолютное значение (если ) или представляют собой геометрическую прогрессию (если ); в любом случае сумма их квадратов не будет конечной. Однако оператор не является обратимым, если . Например, такая последовательность, которая находится в ; но в таком (то есть для всех ) последовательности нет . ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u=T(v)}$ ${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$ ${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (T-I)v=u}$ ${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Основные свойства

Спектр ограниченного оператора Т всегда является замкнутым , ограниченным и непустым подмножеством комплексной плоскости .

Если бы спектр был пуст, то резольвентная функция

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

будет определен всюду на комплексной плоскости и ограничен. Но можно показать, что резольвентная функция R голоморфна в своей области определения. Согласно векторной версии теоремы Лиувилля , эта функция постоянна, то есть везде равна нулю, поскольку она равна нулю на бесконечности. Это было бы противоречием.

Ограниченность спектра следует из разложения в ряд Неймана по λ ; спектр σ ( T ) ограничен || Т ||. Аналогичный результат показывает замкнутость спектра.

Связанный || Т || спектр можно несколько уточнить. Спектральный радиус r ( T ) T — это радиус наименьшего круга в комплексной плоскости, центр которого находится в начале координат и содержит внутри себя спектр σ ( T ) , т.е.

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

Формула спектрального радиуса гласит ^[2] , что для любого элемента банаховой алгебры ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Спектр неограниченного оператора

Определение спектра можно распространить на неограниченные операторы в банаховом пространстве X. Эти операторы больше не являются элементами банаховой алгебры B ( X ).

Определение

Пусть X — банахово пространство и линейный оператор , определенный в области . Говорят, что комплексное число λ находится в резольвентном множестве (также называемом регулярным множеством ), если оператор ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subseteq X}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

имеет ограниченный всюду определенный обратный, т.е. если существует ограниченный оператор

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

такой, что

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

Тогда комплексное число λ находится в спектре , если λ не входит в резольвентное множество.

Чтобы λ находилась в резольвенте (т. е. не в спектре), она, как и в ограниченном случае, должна быть биективной, поскольку должна иметь двустороннюю обратную. Как и раньше, если обратное существует, то его линейность является непосредственной, но, вообще говоря, она может быть не ограничена, поэтому это условие необходимо проверять отдельно. ${\displaystyle T-\lambda I}$

По теореме о замкнутом графике ограниченность графа действительно следует непосредственно из его существования, когда T замкнуто . Тогда, как и в ограниченном случае, комплексное число λ лежит в спектре замкнутого оператора T тогда и только тогда, когда оно не является биективным. Заметим, что в класс замкнутых операторов входят все ограниченные операторы. ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

Основные свойства

Спектр неограниченного оператора, вообще говоря, представляет собой замкнутое, возможно, пустое подмножество комплексной плоскости. Если оператор Т не замкнут , то . ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

Классификация точек спектра

Ограниченный оператор T в банаховом пространстве обратим, т. е. имеет ограниченный обратный, тогда и только тогда, когда T ограничен снизу, т. е. для некоторых и имеет плотный образ. Соответственно спектр Т можно разделить на следующие части: ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$ ${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не ограничено снизу. В частности, это тот случай, когда не инъективен, т. е. λ — собственное значение. Набор собственных значений называется точечным спектром оператора T и обозначается σ _p ( T ). Альтернативно, может быть взаимно однозначным, но все же не ограниченным снизу. Такой λ не является собственным значением, но все же является приближенным собственным значением T ( сами собственные значения также являются приближенными собственными значениями). Набор приближенных собственных значений (который включает точечный спектр) называется приближенным точечным спектром T и обозначается σ _ap ( T ). ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$если не имеет плотного диапазона. Набор таких λ называется спектром сжатия T и обозначается . Если не имеет плотного диапазона, но инъективен, говорят, что λ находится в остаточном спектре T , обозначаемом . ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

Обратите внимание, что приближенный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются (однако точечный спектр и остаточный спектр не пересекаются).

В следующих подразделах представлена ​​более подробная информация о трех частях σ ( T ), изображенных выше.

Спектр точек

Если оператор не инъективен (поэтому существует некоторый ненулевой x с T ( x ) = 0), то он явно не обратим. Таким образом , если λ является собственным значением T , обязательно имеет место λ  ∈  σ ( T ). Набор собственных значений T также называется точечным спектром T _и обозначается σ p ( T ). Некоторые авторы называют замыкание точечного спектра чисто точечным спектром , в то время как другие просто рассматривают ^{[3] [4]} ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$ ${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

Приблизительный точечный спектр

В более общем смысле, согласно ограниченной обратной теореме , T не является обратимым, если он не ограничен снизу; то есть, если не существует c  > 0 такого, что || Передача || ≥  с || х || для всех x ∈ X. Таким образом, спектр включает в себя набор приближенных собственных значений , которые представляют собой такие λ , что T - λI не ограничено снизу; эквивалентно, это набор λ , для которого существует последовательность единичных векторов x ₁ , x ₂ , ... для которых

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

Набор приближенных собственных значений известен как приближенный точечный спектр , обозначаемый . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

Легко видеть, что собственные значения лежат в приближенном точечном спектре.

Например, рассмотрим правый сдвиг R , определяемый формулой ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

где – стандартный ортонормированный базис в . Прямой расчет показывает, что R не имеет собственных значений, но каждый λ с | λ | = 1 — приближенное собственное значение; пусть x _n будет вектором ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

видно, что || х _н || = 1 для всех n , но

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Поскольку R — унитарный оператор, его спектр лежит на единичной окружности. Следовательно, приближенный точечный спектр R — это весь его спектр.

Этот вывод справедлив и для более общего класса операторов. Унитарный оператор является нормальным . По спектральной теореме ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H нормален тогда и только тогда, когда он эквивалентен (после отождествления H с пространством) оператору умножения . Можно показать, что приближенный точечный спектр ограниченного оператора умножения равен его спектру. ${\displaystyle L^{2}}$

Дискретный спектр

Дискретный спектр определяется как набор нормальных собственных значений или, что то же самое, как набор изолированных точек спектра таких, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. По сути, дискретный спектр представляет собой строгое подмножество точечного спектра, т. е. ${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

Непрерывный спектр

Множество всех λ , для которых инъективно и имеет плотный диапазон, но не является сюръективным, называется непрерывным спектром T , обозначаемым . Таким образом, непрерывный спектр состоит из тех приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не лежат в остаточном спектре. То есть, ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

Например, , , , является инъективным и имеет плотный диапазон, но . Действительно, если при таком , что не обязательно иметь , и тогда . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

Спектр сжатия

Набор для которого не имеет плотного диапазона , известен как спектр сжатия T и обозначается . ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

Остаточный спектр

Набор для которого инъективен , но не имеет плотного диапазона, известен как остаточный спектр T и обозначается : ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

Оператор может быть инъективным, даже ограниченным снизу, но все же необратимым. Сдвиг вправо на , , , является таким примером. Этот оператор сдвига является изометрией , поэтому ограничен снизу единицей. Но он не обратим, поскольку не является сюръективным ( ) и, более того, не плотен в ( ). ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

Периферийный спектр

Периферийный спектр оператора определяется как совокупность точек его спектра, модуль которых равен его спектральному радиусу. ^[5]

Основной спектр

Существует пять подобных определений существенного спектра замкнутого плотно определенного линейного оператора , которые удовлетворяют ${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

Все эти спектры совпадают в случае самосопряженных операторов. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся полуфредгольмовыми . (Оператор является полуфредгольмовым, если его образ замкнут и либо его ядро, либо коядро (или оба) конечномерны.) Пример 1: для оператора , (поскольку диапазон этого оператора не замкнут: диапазон не включает все, хотя его закрытие включает). Пример 2: для , для любого (поскольку и ядро, и коядро этого оператора бесконечномерны). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ ${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$ ${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, в которых оператор либо имеет бесконечномерное ядро, либо имеет незамкнутую область значений. Его также можно охарактеризовать с помощью критерия Вейля : существует последовательность в пространстве X такая, что , и такая, что не содержит сходящейся подпоследовательности . Такая последовательность называется сингулярной последовательностью (или сингулярной последовательностью Вейля ). Пример: для оператора , если j четное и когда j нечетное (ядро бесконечномерно; коядро нульмерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$ ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$ ${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся фредгольмовыми . (Оператор является фредгольмовым , если его образ замкнут и его ядро ​​и коядро конечномерны.) Пример: для оператора ( ядро нульмерно, коядро бесконечномерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$ ${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. Существенный спектр определяется как множество точек спектра, не являющихся фредгольмовскими нулевого индекса. Его также можно было бы охарактеризовать как большую часть спектра A , сохранившуюся компактными возмущениями. Другими словами, ; здесь обозначает множество всех компактных операторов на X . Пример: где – оператор сдвига вправо, , for (его ядро ​​равно нулю, его коядро одномерно). Обратите внимание, что . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$ ${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. Существенный спектр представляет собой объединение всех компонент , не пересекающихся с резольвентным множеством . Его также можно охарактеризовать как . Пример: рассмотрим оператор , для , . Поскольку у вас есть . Для любого с область значений плотна, но не замкнута, поэтому граница единичного круга принадлежит первому типу существенного спектра: . Для любого с имеет замкнутый диапазон, одномерное ядро ​​и одномерное коядро, поэтому, хотя для ; таким образом, для . Есть два компонента : и . Компонент не имеет пересечения с резольвентным множеством; по определению, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ ${\displaystyle j\neq 0}$ ${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$ ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$ ${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle T-zI}$ ${\displaystyle z\in \sigma (T)}$ ${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$ ${\displaystyle \{|z|<1\}}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

Пример: атом водорода

Атом водорода представляет собой пример различных типов спектров. Оператор Гамильтона атома водорода , , с областью определения имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр , который в данном случае совпадает с точечным спектром, поскольку в непрерывный спектр нет собственных значений), которые можно вычислить по формуле Ридберга . Соответствующие им собственные функции называются собственными состояниями или связанными состояниями . Результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения/ионизации не «квантуется»), представленной (она также совпадает с существенным спектром ). ^{[ нужна ссылка ] [ нужны разъяснения ]} ${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$ ${\displaystyle Z>0}$ ${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

Спектр сопряженного оператора

Пусть X — банахово пространство и замкнутый линейный оператор с плотной областью определения . Если X* — пространство, двойственное к X , и эрмитово сопряженное пространство к T , то ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)\subset X}$ ${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

Теорема  .  Для ограниченного (или, в более общем смысле, замкнутого и плотно определенного) оператора T ,

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$.

В частности, . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Доказательство

Предположим, что это не плотно в X . По теореме Хана-Банаха существует ненулевое значение , которое обращается в нуль на . Для всех x ∈ X , ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

${\displaystyle \langle \varphi ,(T-\lambda )x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.}$

Следовательно, и является собственным значением T* . ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

Обратно, предположим, что это собственное значение T* . Тогда существует ненулевое такое, что , т.е. ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$ ${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$ ${\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0}$

${\displaystyle \forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.}$

Если плотно в X , то φ должен быть нулевым функционалом, противоречие. Утверждение доказано. ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T-\lambda I)}$

Мы также получаем следующее рассуждение: X изометрически вкладывается в X** . Следовательно, для каждого ненулевого элемента ядра существует ненулевой элемент из X** , который обращается в нуль на . Таким образом, не может быть плотным. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$ ${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

Более того, если X рефлексивно, мы имеем . ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Спектры отдельных классов операторов

Компактные операторы

Если T — компактный оператор или, в более общем смысле, несущественный оператор , то можно показать, что спектр счетен, что ноль — единственная возможная точка накопления и что любой ненулевой λ в спектре является собственным значением.

Квазинильпотентные операторы

Ограниченный оператор квазинильпотентен, если as ( другими словами, если спектральный радиус оператора A равен нулю). Такие операторы эквивалентно могут быть охарактеризованы условием ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

Примером такого оператора является , for . ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

Самосопряженные операторы

Если X — гильбертово пространство , а T — самосопряженный оператор (или, в более общем смысле, нормальный оператор ), то замечательный результат, известный как спектральная теорема , дает аналог теоремы о диагонализации для нормальных конечномерных операторов (эрмитовых матриц , например).

Для самосопряженных операторов можно использовать спектральные меры , чтобы определить разложение спектра на абсолютно непрерывные, чисто точечные и сингулярные части.

Спектр реального оператора

Определения резольвенты и спектра могут быть расширены на любой непрерывный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве над действительным полем (вместо комплексного поля ) посредством его комплексификации . В этом случае мы определяем резольвентное множество как множество всех таких, которые обратимы как оператор, действующий на комплексифицированное пространство ; тогда определяем . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

Реальный спектр

Действительный спектр непрерывного линейного оператора, действующего на вещественном банаховом пространстве , обозначенный , определяется как множество всех, для которых не обратима в вещественной алгебре ограниченных линейных операторов, действующих на . В этом случае мы имеем . Обратите внимание, что реальный спектр может совпадать или не совпадать с комплексным спектром. В частности, реальный спектр может быть пустым. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T-\lambda I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

Спектр единичной банаховой алгебры

Пусть B — комплексная банахова алгебра , содержащая единицу e . Затем мы определяем спектр σ ( x ) (или, более подробно, σB(x)) элемента x из B как набор _тех комплексных чисел λ , для которых λe  −  x не обратимо в B. Это расширяет определение ограниченных линейных операторов B ( X ) в банаховом пространстве X , поскольку B ( X ) — банахова алгебра с единицей.

Смотрите также

• Основной спектр
• Дискретный спектр (математика)
• Самосопряженный оператор
• Псевдоспектр
• Резольвентный набор

Примечания

1. Крейциг, Эрвин. Вводный функциональный анализ с приложениями .
2. Теорема 3.3.3 Кадисона и Рингроуза, 1983, Основы теории операторных алгебр, Vol. I: Элементарная теория , Нью-Йорк: Academic Press, Inc.
3. Тешль 2014, с. 115.
4. Саймон 2005, с. 44.
5. Заанен, Адриан К. (2012). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса. Springer Science & Business Media. п. 304. ИСБН 9783642606373. Проверено 8 сентября 2017 г.

Рекомендации

• Дейлс и др., Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ , ISBN 0-521-53584-0 
• «Спектр оператора», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том. 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN 978-1-4704-1704-8.