Экстра специальная группа

Понятие в абстрактной алгебре

В теории групп , разделе абстрактной алгебры , экстраспециальные группы являются аналогами группы Гейзенберга над конечными полями , размер которых является простым числом. Для каждого простого числа p и положительного целого числа n существует ровно две (с точностью до изоморфизма) экстраспециальные группы порядка p 1 + ^{2 n} . Экстраспециальные группы часто встречаются в централизаторах инволюций . Обычная теория характеров экстраспециальных групп хорошо изучена.

Определение

Напомним, что конечная группа называется p -группой , если ее порядок является степенью простого числа p .

P -группа G называется экстраспециальной, если ее центр Z является циклической группой порядка p , а фактор-группа G / Z является нетривиальной элементарной абелевой p -группой.

Экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 n} часто обозначаются символом p ^{1+2 n} . Например, 2 ¹⁺²⁴ обозначает экстраспециальную группу порядка 2 ²⁵ .

Классификация

Каждая экстраспециальная p -группа имеет порядок p ^{1+2 n} для некоторого положительного целого числа n , и наоборот, для каждого такого числа существует ровно две экстраспециальные группы с точностью до изоморфизма. Центральное произведение двух экстраспециальных p -групп является экстраспециальным, и каждая экстраспециальная группа может быть записана как центральное произведение экстраспециальных групп порядка p ³ . Это сводит классификацию экстраспециальных групп к классификации экстраспециальных групп порядка p ³ . Классификация часто представляется по-разному в двух случаях p нечетное и p = 2, но единообразное представление также возможно.

пстранный

Существуют две экстраспециальные группы порядка p ³ , которые для нечетного p задаются формулой

• Группа треугольных матриц 3x3 над полем с p элементами, с 1 на диагонали. Эта группа имеет показатель p для нечетного p (но показатель 4, если p  = 2).
• Полупрямое произведение циклической группы порядка p ² на циклическую группу порядка p , действующую на ней нетривиально. Эта группа имеет показатель  p ² .

Если n — положительное целое число, то существуют две экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 n} , которые для нечетного p задаются формулой

• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p ³ , все имеют показатель p . Эта экстраспециальная группа также имеет показатель  p .
• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p ³ , по крайней мере одна из которых имеет показатель p ² . Эта экстраспециальная группа имеет показатель p ² .

Две экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 n} легче всего различить по тому факту, что одна имеет все элементы порядка не более p , а другая имеет элементы порядка  p ² .

п= 2

Существуют две экстраспециальные группы порядка 8 = 2 ³ , которые задаются формулой

• Группа диэдра D ₈ порядка 8, которая также может быть задана любой из двух конструкций в разделе выше для p = 2 (для нечетного p они дают разные группы, но для p = 2 они дают одну и ту же группу). Эта группа имеет 2 элемента порядка 4.
• Группа кватернионов Q ₈ порядка 8, имеющая 6 элементов порядка 4.

Если n — положительное целое число, то существуют две экстраспециальные группы порядка 2 ^{1+2 n} , которые задаются формулой

• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка 8, нечетное число из которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. ниже) имеет инвариант Арфа 1.
• Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка 8, четное число из которых являются группами кватернионов. Соответствующая квадратичная форма (см. ниже) имеет инвариант Арфа 0.

Две экстраспециальные группы G порядка 2 ^{1+2 n} проще всего различить следующим образом. Если Z — центр, то G / Z — векторное пространство над полем с 2 элементами. Оно имеет квадратичную форму q , где q равно 1, если подъем элемента имеет порядок 4 в G , и 0 в противном случае. Тогда инвариант Арфа этой квадратичной формы можно использовать для различения двух экстраспециальных групп. Эквивалентно, можно различить группы, подсчитав количество элементов порядка 4.

Всеп

Единообразное представление экстраспециальных групп порядка p ^{1+2 n} можно дать следующим образом. Определим две группы:

• ${\displaystyle M(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=1,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$
• ${\displaystyle N(p)=\langle a,b,c:a^{p}=b^{p}=c,c^{p}=1,ba=abc,ca=ac,cb=bc\rangle }$

M ( p ) и N ( p ) являются неизоморфными экстраспециальными группами порядка p ³ с центром порядка p , порожденным c . Две неизоморфные экстраспециальные группы порядка p ^{1+2 n} являются центральными произведениями либо n копий M ( p ), либо n −1 копий M ( p ) и 1 копии N ( p ). Это частный случай классификации p -групп с циклическими центрами и простыми производными подгруппами, приведенной в (Newman 1960).

Теория характера

Если G — экстраспециальная группа порядка p ^{1+2 n} , то ее неприводимые комплексные представления задаются следующим образом:

• Существует ровно p ^{2 n} неприводимых представлений размерности 1. Центр Z действует тривиально, а представления просто соответствуют представлениям абелевой группы G / Z .
• Существует ровно p  − 1 неприводимых представлений размерности p ⁿ . Для каждого нетривиального характера χ центра, на который центр действует как умножение на χ, существует одно из них. Значения характера задаются как p ⁿ χ на Z и 0 для элементов, не лежащих в Z .
• Если неабелева p -группа G имеет менее p ²  −  p нелинейных неприводимых характеров минимальной степени, то она является экстраспециальной.

Примеры

Довольно часто централизатор инволюции в конечной простой группе содержит нормальную экстраспециальную подгруппу. Например, централизатор инволюции типа 2B в группе монстров имеет структуру 2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ , что означает, что он имеет нормальную экстраспециальную подгруппу порядка 2 ¹⁺²⁴ , а фактор является одной из групп Конвея .

Обобщения

Группы, центр которых , производная подгруппа и подгруппа Фраттини равны, называются специальными группами . Бесконечные специальные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p, также называются экстраспециальными группами. Классификация счетно бесконечных экстраспециальных групп очень похожа на конечный случай (Newman 1960), но для больших мощностей даже основные свойства групп зависят от деликатных вопросов теории множеств, некоторые из которых изложены в (Shelah & Steprāns 1987). Нильпотентные группы , центр которых циклический, а производная подгруппа имеет порядок p , и чьи классы сопряженности не более чем счетно бесконечны, классифицированы в (Newman 1960). Конечные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p , классифицированы в (Blackburn 1999).

Ссылки

• Блэкберн, Саймон Р. (1999), «Группы порядка степени простого числа с производной подгруппой порядка простого числа», Журнал алгебры , 219 (2): 625–657, doi : 10.1006/jabr.1998.7909 , ISSN  0021-8693, MR  1706841
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, МР  0569209
• Ньюман, МФ (1960), «Об одном классе нильпотентных групп», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 10 : 365–375, doi :10.1112/plms/s3-10.1.365, ISSN  0024-6115, MR  0120278
• Шелах, Сахарон ; Степранс, Юрис (1987), «Экстраспециальные p-группы», Annals of Pure and Applied Logic , 34 (1): 87–97, doi : 10.1016/0168-0072(87)90041-8 , ISSN  0168-0072, MR  0887554