Спиновая структура

В дифференциальной геометрии спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии ( M , g ) позволяет определить ассоциированные спинорные расслоения , что приводит к понятию спинора в дифференциальной геометрии.

Спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности в квантовой теории поля , где они являются существенным ингредиентом в определении любой теории с незаряженными фермионами . Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и теории K. Они образуют основу для спиновой геометрии .

Обзор

В геометрии и теории поля математики задаются вопросом, допускает ли заданное ориентированное риманово многообразие ( M , g ) спиноры . Один из методов решения этой проблемы — потребовать, чтобы M имело спиновую структуру. ^{[1] [2] [3]} Это не всегда возможно, поскольку потенциально существует топологическое препятствие к существованию спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля–Уитни w ₂ ( M ) ∈ H ² ( M , Z ₂ ) для M обращается в нуль. Более того, если w ₂ ( M ) = 0, то множество классов изоморфизма спиновых структур на M свободно и транзитивно подвергается действию H ¹ ( M , Z ₂ ) . Поскольку предполагается, что многообразие M ориентировано, первый класс Штифеля–Уитни w ₁ ( M ) ∈ H ¹ ( M , Z ₂ ) для M также обращается в нуль. (Классы Штифеля–Уитни w _i ( M ) ∈ H ⁱ ( M , Z ₂ ) многообразия M определяются как классы Штифеля–Уитни его касательного расслоения TM .)

Тогда расслоение спиноров π _S : S → M над M является комплексным векторным расслоением , связанным с соответствующим главным расслоением π _P : P → M спиновых фреймов над M и спиновым представлением его структурной группы Spin( n ) на пространстве спиноров Δ _n . Расслоение S называется спинорным расслоением для заданной спиновой структуры на M .

Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после того, как было введено понятие расслоенного волокна ; Андре Хефлигер (1956) обнаружил топологическое препятствие к существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай. ^{[4] [5]}

Спиновые структуры на римановых многообразиях

Определение

Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии с ориентированным векторным расслоением является эквивариантным лифтом ортонормированного расслоения реперов относительно двойного покрытия . Другими словами, пара является спиновой структурой на SO( n )-главном расслоении , когда ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$ ${\displaystyle \rho :\operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle (P_{\operatorname {Spin} },\phi )}$ ${\displaystyle \pi :P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

а) является главным Spin( n )-расслоением над , и ${\displaystyle \pi _{P}:P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow M}$ ${\displaystyle M}$

б) является эквивариантным 2-кратным накрывающим отображением таким, что ${\displaystyle \phi :P_{\operatorname {Spin} }\rightarrow P_{\operatorname {SO} }(E)}$

${\displaystyle \pi \circ \phi =\pi _{P}\quad }$и для всех и . ${\displaystyle \quad \phi (pq)=\phi (p)\rho (q)\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{\operatorname {Spin} }}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

Две спиновые структуры и на одном и том же ориентированном римановом многообразии называются «эквивалентными», если существует Spin( n )-эквивариантное отображение такое, что ${\displaystyle (P_{1},\phi _{1})}$ ${\displaystyle (P_{2},\phi _{2})}$ ${\displaystyle f:P_{1}\rightarrow P_{2}}$

${\displaystyle \phi _{2}\circ f=\phi _{1}\quad }$и для всех и . ${\displaystyle \quad f(pq)=f(p)q\quad }$ ${\displaystyle p\in P_{1}}$ ${\displaystyle q\in \operatorname {Spin} (n)}$

В этом случае и являются двумя эквивалентными двойными покрытиями. ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

Определение спиновой структуры на как спиновой структуры на главном расслоении принадлежит Андре Хефлигеру (1956). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle P_{\operatorname {SO} }(E)\rightarrow M}$

Препятствие

Хефлигер ^[1] нашел необходимые и достаточные условия для существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии ( M , g ). Препятствием к наличию спиновой структуры является определенный элемент [ k ] из H2 ⁽ M , Z2 ) . Для спиновой структуры класс [ k ] является вторым классом Штифеля–Уитни _w2 ( M ) ∈ ^H2 ( M , _Z2 ) из ​​M. Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля–Уитни _{w2 ( M} ) ∈ H2 ( ^M , Z2 ) из ​​M равен нулю .

Спиновые структуры на векторных расслоениях

Пусть M — паракомпактное топологическое многообразие , а E — ориентированное векторное расслоение на M размерности n, снабженное метрикой слоя . Это означает, что в каждой точке M слой E является пространством внутреннего произведения . Спинорное расслоение E — это предписание для последовательного сопоставления спинового представления с каждой точкой M. Существуют топологические препятствия к тому, чтобы это сделать, и, следовательно, данное расслоение E может не допускать никакого спинорного расслоения. В случае, если это так, говорят, что расслоение E является спиновым .

Это можно сделать строгим с помощью языка главных расслоений . Набор ориентированных ортонормированных фреймов векторного расслоения образует расслоение фреймов P _SO ( E ), которое является главным расслоением под действием специальной ортогональной группы SO( n ). Спиновая структура для P _SO ( E ) является подъемом P _SO ( E ) до главного расслоения P Spin ₍ E ) под действием спиновой группы Spin( n ), под которым мы подразумеваем, что существует отображение расслоения  : P _Spin ( E ) → P _SO ( E ) такое, что ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (pg)=\phi (p)\rho (g)}$, для всех p ∈ P _Spin ( E ) и g ∈ Spin( n ) ,

где ρ  : Spin( n ) → SO( n ) — отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное накрытие SO( n ).

В частном случае, когда E является касательным расслоением TM над базовым многообразием M , если существует спиновая структура, то говорят, что M является спиновым многообразием . Эквивалентно M является спиновым , если главное расслоение SO( n ) ортонормированных базисов касательных волокон M является фактором Z ₂ главного спинового расслоения.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновую структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс тривиализации касательного расслоения над 1- скелетом, который простирается над 2-скелетом. Если размерность меньше 3, сначала берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением.

Препятствие и классификация

Для ориентируемого векторного расслоения спиновая структура существует на тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля–Уитни равен нулю. Это результат Арманда Бореля и Фридриха Хирцебруха . ^[6] Более того, в случае спина число спиновых структур находится во взаимно однозначном соответствии с . Эти результаты можно легко доказать ^{[7] стр. 110-111,} используя аргумент спектральной последовательности для соответствующего главного -расслоения . Обратите внимание, что это дает расслоение ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle w_{2}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle P_{E}\to M}$

${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\to P_{E}\to M}$

следовательно, можно применить спектральную последовательность Серра . Из общей теории спектральных последовательностей существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to E_{3}^{0,1}\to E_{2}^{0,1}\xrightarrow {d_{2}} E_{2}^{2,0}\to E_{3}^{2,0}\to 0}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{2}^{0,1}&=H^{0}(M,H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\\E_{2}^{2,0}&=H^{2}(M,H^{0}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2))=H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$

Кроме того, и для некоторой фильтрации по , следовательно, мы получаем карту ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=E_{3}^{0,1}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{0,1}=H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)/F^{1}(H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2))}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to E_{3}^{0,1}}$

давая точную последовательность

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)\to H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$

Итак, спиновая структура — это в точности двойное покрытие, вписывающееся в коммутативную диаграмму ${\displaystyle P_{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (n)&\to &{\tilde {P}}_{E}&\to &M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {SO} (n)&\to &P_{E}&\to &M\end{matrix}}}$

где две левые вертикальные карты являются двойными накрывающими картами. Теперь двойные накрытия находятся в биекции с индексными подгруппами , которые находятся в биекции с множеством групповых морфизмов . Но из теоремы Гуревича и замены коэффициентов это в точности группа когомологий . Применяя тот же аргумент к , нетривиальное накрытие соответствует , а отображение в является в точности вторым классом Штифеля–Уитни, следовательно . Если он равен нулю, то обратный образ под отображением ${\displaystyle P_{E}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(P_{E})}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\pi _{1}(E),\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{2}(1)=w_{2}(E)}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

— это множество двойных покрытий, дающих спиновые структуры. Теперь это подмножество можно отождествить с , показывая, что эта последняя группа когомологий классифицирует различные спиновые структуры на векторном расслоении . Это можно сделать, посмотрев на длинную точную последовательность гомотопических групп расслоения ${\displaystyle H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n))\to \pi _{1}(P_{E})\to \pi _{1}(M)\to 1}$

и применяя , давая последовательность групп когомологий ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,\mathbb {Z} /2)}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(P_{E},\mathbb {Z} /2)\to H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Поскольку является ядром, а прообраз находится во взаимно однозначном соответствии с ядром, мы получаем желаемый результат. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle 1\in H^{1}(\operatorname {SO} (n),\mathbb {Z} /2)}$

Замечания по классификации

При наличии спиновых структур неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно-однозначное соответствие (не каноническое) с элементами H ¹ ( M , Z ₂ ), которое по теореме об универсальном коэффициенте изоморфно H ₁ ( M , Z ₂ ). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H ¹ ( M , Z ₂ ).

Интуитивно, для каждого нетривиального цикла на M структура спина соответствует бинарному выбору того, меняет ли секция расслоения SO( N ) листы, когда она обходит петлю. Если w ₂ ^[8] обращается в нуль, то эти выборы могут быть расширены на двухскелетный , затем (по теории препятствий ) они могут быть автоматически расширены на все M . В физике частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов, обходящих каждую петлю. Обратите внимание, что на комплексном многообразии второй класс Штифеля-Уитни может быть вычислен как первый класс Черна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{mod }}2}$

Примеры

1. Риманова поверхность рода g допускает 2 ^{2 g} неэквивалентных спиновых структур; см. тета -характеристику .
2. Если H ² ( M , Z ₂ ) обращается в нуль, M — это спин . Например, S ⁿ — это спин для всех . (Обратите внимание, что S ² также является спином , но по другим причинам; см. ниже.) ${\displaystyle n\neq 2}$
3. Комплексная проективная плоскость CP ² не является спиновой .
4. В более общем случае все четномерные комплексные проективные пространства CP ^{2 n} не являются спиновыми .
5. Все нечетномерные комплексные проективные пространства CP ²ⁿ⁺¹ являются спиновыми .
6. Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми .
7. Все многообразия Калаби–Яу являются спиновыми .

Характеристики

• Род спинового многообразия является целым числом, и является четным числом, если, кроме того, размерность равна 4 mod 8.

  В общем случае род Â является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но в общем случае он не является целым числом.

  Первоначально это было доказано Хирцебрухом и Борелем , и может быть доказано теоремой Атьи–Зингера об индексе , реализуя род Â как индекс оператора Дирака – оператор Дирака является квадратным корнем оператора второго порядка и существует благодаря тому, что структура спина является «квадратным корнем». Это был мотивирующий пример для теоремы об индексе.

ВращатьсяСструктуры

Структура спина ^C аналогична структуре спина на ориентированном римановом многообразии ^[9], но использует группу спина ^C , которая определяется точной последовательностью

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

Чтобы мотивировать это, предположим, что κ  : Spin( n ) → U( N ) — комплексное спинорное представление. Центр U( N ) состоит из диагональных элементов, получаемых из включения i  : U(1) → U( N ) , т.е. скалярных кратных тождества. Таким образом, существует гомоморфизм

${\displaystyle \kappa \times i\colon {\mathrm {Spin} }(n)\times {\mathrm {U} }(1)\to {\mathrm {U} }(N).}$

Это всегда будет иметь элемент (−1,−1) в ядре. Взяв частное по модулю этого элемента, мы получим группу Spin ^C ( n ). Это скрученное произведение

${\displaystyle {\mathrm {Spin} }^{\mathbb {C} }(n)={\mathrm {Spin} }(n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}{\mathrm {U} }(1)\,,}$

где U(1) = SO(2) = S ^1. Другими словами, группа Spin ^C ( n ) является центральным расширением SO( n ) посредством S ¹ .

С другой стороны, Spin ^C ( n ) — это фактор-группа, полученная из Spin( n ) × Spin(2) относительно нормали Z ₂ , которая генерируется парой накрывающих преобразований для расслоений Spin( n ) → SO( n ) и Spin(2) → SO(2) соответственно. Это делает группу Spin ^C как расслоением над окружностью со слоем Spin( n ), так и расслоением над SO( n ) со слоем окружностью. ^{[10] [11]}

Фундаментальная группа π ₁ (Spin ^C ( n )) изоморфна Z, если n ≠ 2, и Z ⊕ Z, если n = 2.

Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновую ^C- структуру можно эквивалентно рассматривать как гомотопический класс комплексной структуры над 2- скелетом , который простирается над 3-скелетом. Аналогично случаю спиновых структур, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.

Еще одно определение состоит в том, что спиновая структура ^C на многообразии N представляет собой комплексное линейное расслоение L над N вместе со спиновой структурой на T N ⊕ L .

Препятствие

Структура спина ^C существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Штифеля–Уитни расслоения E находится в образе отображения H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (другими словами, третий интегральный класс Штифеля–Уитни равен нулю). В этом случае говорят, что E является спином ^C . Интуитивно, лифт дает класс Черна квадрата части U(1) любого полученного спинового расслоения ^C. По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают структуру спина ^C.

Классификация

Когда многообразие вообще несет структуру спина ^{C , набор структур спина C} образует аффинное пространство. Более того, набор структур спина ^C имеет свободное транзитивное действие H ² ( M , Z ) . Таким образом, структуры спина ^C соответствуют элементам H ² ( M , Z ) , хотя и не естественным образом.

Геометрическая картина

Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, которая принадлежит Эдварду Виттену . Когда структура спина ^C ненулевая, это расслоение квадратного корня имеет нецелый класс Черна, что означает, что оно не удовлетворяет условию тройного перекрытия . В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как требуется для главного расслоения . Вместо этого оно иногда равно −1.

Этот сбой происходит точно в тех же пересечениях, что и идентичный сбой в тройных произведениях функций перехода затрудненного спинового пучка . Следовательно, тройные произведения функций перехода полного спинового пучка ^c , которые являются произведениями тройного произведения спиновых и компонентных пучков U(1), равны либо 1 ² = 1 , либо (−1) ² = 1 , и поэтому спиновый пучок ^C удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является законным пучком.

Подробности

Вышеуказанную интуитивную геометрическую картину можно конкретизировать следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z → Z → Z ₂ → 0 , где вторая стрелка — умножение на 2, а третья — редукция по модулю 2. Это индуцирует длинную точную последовательность на когомологиях, которая содержит

${\displaystyle \dots \longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow {\textrm {H}}^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\textrm {H}}^{3}(M;\mathbf {Z} )\longrightarrow \dots ,}$

где вторая стрелка индуцируется умножением на 2, третья индуцируется ограничением по модулю 2, а четвертая является ассоциированным гомоморфизмом Бокштейна β .

Препятствием к существованию спинового расслоения является элемент w ₂ из H ² ( M , Z ₂ ) . Он отражает тот факт, что всегда можно локально поднять расслоение SO(n) до спинового расслоения, но нужно выбрать подъем Z ₂ каждой функции перехода, что является выбором знака. Подъем не существует, когда произведение этих трех знаков на тройном перекрытии равно −1, что дает картину когомологии Чеха для w ₂ .

Чтобы отменить это препятствие, нужно тензоризировать это спиновое расслоение с помощью расслоения U(1) с тем же препятствием w _2. Обратите внимание, что это злоупотребление словом расслоение , поскольку ни спиновое расслоение, ни расслоение U(1) не удовлетворяют условию тройного перекрытия и, таким образом, ни одно из них на самом деле не является расслоением.

Легитимное расслоение U(1) классифицируется по его классу Черна , который является элементом H ² ( M , Z ). Отождествим этот класс с первым элементом в точной последовательности выше. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому легитимные расслоения будут соответствовать четным элементам во втором H ² ( M , Z ) , в то время как нечетные элементы будут соответствовать расслоениям, которые не удовлетворяют условию тройного перекрытия. Затем препятствие классифицируется по несоответствию элемента во втором H ² ( M , Z ) образу стрелки, который, по точности, классифицируется по его образу в H ² ( M , Z ₂ ) под следующей стрелкой.

Чтобы отменить соответствующее препятствие в спиновом расслоении, этот образ должен быть w ₂ . В частности, если w ₂ не находится в образе стрелки, то не существует никакого расслоения U(1) с препятствием, равным w _{2 ,} и поэтому препятствие не может быть отменено. По точности, w ₂ находится в образе предыдущей стрелки, только если он находится в ядре следующей стрелки, которое, как мы помним, является гомоморфизмом Бокштейна β. То есть условие отмены препятствия есть

${\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}$

где мы использовали тот факт, что третий интеграл класса Штифеля–Уитни W ₃ является Бокштейном второго класса Штифеля–Уитни w ₂ (это можно принять за определение W ₃ ).

Интегральные подъемники классов Штифеля–Уитни

Этот аргумент также показывает, что второй класс Штифеля–Уитни определяет элементы не только когомологий Z ₂ , но и целочисленных когомологий в одной более высокой степени. Фактически, это так для всех четных классов Штифеля–Уитни. Традиционно используется заглавная буква W для результирующих классов в нечетной степени, которые называются целочисленными классами Штифеля–Уитни и помечаются по их степени (которая всегда нечетна).

Примеры

1. Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше имеют спин ^{C. [12} ]
2. Все почти комплексные многообразия имеют спин ^C.
3. Все спиновые многообразия имеют спин ^C.

Применение в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц теорема о спиновой статистике подразумевает, что волновая функция незаряженного фермиона является сечением связанного векторного расслоения к спиновому лифту расслоения SO( N ) E . Таким образом, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто требуется суммировать по этим выборам в статистической сумме . Во многих физических теориях E является касательным расслоением , но для фермионов на мировых объемах D-бран в теории струн это нормальное расслоение .

В квантовой теории поля заряженные спиноры являются секциями связанных пучков спина ^c , и в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, которое не является спином ^c . Исключение возникает в некоторых теориях супергравитации , где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут отменить третий класс Штифеля–Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн является особенно тонкой открытой проблемой, которая недавно рассматривалась в ссылках. ^{[13] [14]} Оказывается, что стандартное понятие структуры спина слишком ограничительно для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «структура Липшица». ^{[13] [15]}

Смотрите также

• Метаплектическая структура
• Ортонормальный рамочный пучок
• Спинор

Ссылки

1. Хефлигер, А. (1956). «Расширение группы структурных волокон для космического пространства». ЧР акад. наук. Париж . 243 : 558–560.
2. Дж. Милнор (1963). «Спиновые структуры на многообразиях». L'Enseignement Mathématique . 9 : 198–203.
3. Лихнерович, А. (1964). «Champs spinoriels et propagateurs en relativité générale». Бык. Соц. Математика. о . 92 : 11–100. дои : 10.24033/bsmf.1604 .
4. Каруби, М. (1968). «Алгебра Клиффорда и К-теория». Энн. наук. Эк. Норм. Супер . 1 (2): 161–270. дои : 10.24033/asens.1163 .
5. Алагия, HR; Санчес, CU (1985), «Спиновые структуры на псевдоримановых многообразиях» (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
6. Борель, А.; Хирцебрух, Ф. (1958). «Характеристические классы и однородные пространства I». American Journal of Mathematics . 80 (2): 97–136. doi :10.2307/2372795. JSTOR  2372795.
7. Пати, Вишвамбхар. "Эллиптические комплексы и теория индекса" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2018 г.
8. "Спиновое многообразие и второй класс Штифеля-Уитни". Math.Stachexchange .
9. Лоусон, Х. Блейн; Михельсон, Мари-Луиза (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . стр. 391. ISBN 978-0-691-08542-5.
10. Р. Гомпф (1997). " Spin ^c -структуры и гомотопические эквивалентности ". Геометрия и топология . 1 : 41–50. arXiv : math/9705218 . Bibcode :1997math......5218G. doi :10.2140/gt.1997.1.41. S2CID  6906852.
11. Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . стр. 26. ISBN 978-0-8218-2055-1.
12. Gompf, Robert E.; Stipsicz, Andras I. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Американское математическое общество . стр. 55–58, 186–187. ISBN 0-8218-0994-6.
13. Lazaroiu, C.; Shahbazi, CS (2019). «Вещественные расслоения пиноров и действительные липшицевы структуры». Asian Journal of Mathematics . 23 (5): 749–836. arXiv : 1606.07894 . doi : 10.4310/AJM.2019.v23.n5.a3. S2CID  119598006..
14. Lazaroiu, C.; Shahbazi, CS (2019). «О спиновой геометрии супергравитации и теории струн». Геометрические методы в физике XXXVI . Тенденции в математике. стр. 229–235. arXiv : 1607.02103 . doi : 10.1007/978-3-030-01156-7_25. ISBN 978-3-030-01155-0. S2CID  104292702.
15. Фридрих, Томас; Траутман, Анджей (2000). «Пространства спинов, группы Липшица и расслоения спиноров». Annals of Global Analysis and Geometry . 18 (3): 221–240. arXiv : math/9901137 . doi :10.1023/A:1006713405277. S2CID  118698159.

Дальнейшее чтение

• Лоусон, Х. Блейн; Михельсон, Мари-Луиз (1989). Геометрия спина . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Каруби, Макс (2008). K-Theory . Springer. стр. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7.
• Greub, Werner; Petry, Herbert-Rainer (2006) [1978]. "О подъеме структурных групп". Дифференциальные геометрические методы в математической физике II . Конспект лекций по математике. Том 676. Springer-Verlag. С. 217–246. doi :10.1007/BFb0063673. ISBN 9783540357216.
• Scorpan, Alexandru (2005). "4.5 Заметки о спиновых структурах, определение структурной группы; Эквивалентность определений". Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. стр. 174–189. ISBN 9780821837498.

Внешние ссылки

• «Что-то о спиновых структурах» Свена-С. Порста — краткое введение в ориентационные и спиновые структуры для студентов-математиков.