Спираль

Пространственная кривая, которая обвивается вокруг линии

(слева направо) Пружины растяжения, сжатия и кручения

Винт

Правосторонняя спираль (cos t , sin t , t ) для 0 ≤ t ≤ 4 π со стрелками, показывающими направление увеличения t

Спираль ( / ˈh iːl ɪk s / ; мн. ч. спирали ) — это форма, похожая на цилиндрическую пружину или резьбу машинного винта . Это тип гладкой пространственной кривой с касательными линиями под постоянным углом к ​​фиксированной оси. Спирали важны в биологии , так как молекула ДНК образована как две переплетенные спирали , и многие белки имеют спиральные подструктуры, известные как альфа-спирали . Слово спираль происходит от греческого слова ἕλιξ , «скрученный, изогнутый». ^[1] «Заполненная» спираль — например, «спиральный» (винтовой) пандус — это поверхность, называемая геликоидом . [ ^2] 

Свойства и типы

Шаг спирали — это высота одного полного витка спирали , измеренная параллельно оси спирали.

Двойная спираль состоит из двух (обычно конгруэнтных ) спиралей с одной и той же осью, отличающихся трансляцией вдоль оси. ^[3]

Круговая спираль (т. е. с постоянным радиусом) имеет постоянную кривизну полосы и постоянное кручение . Наклон круговой спирали обычно определяется как отношение окружности кругового цилиндра, вокруг которого она закручивается, к ее шагу (высоте одного полного витка спирали).

Коническая винтовая линия , также известная как коническая спираль , может быть определена как спираль на конической поверхности, расстояние до вершины которой является экспоненциальной функцией угла, указывающего направление от оси.

Кривая называется общей спиралью или цилиндрической спиралью ^[4] , если ее касательная образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. Кривая является общей спиралью тогда и только тогда, когда отношение кривизны к кручению постоянно . ^[5]

Кривая называется наклонной винтовой линией, если ее главная нормаль образует постоянный угол с фиксированной линией в пространстве. ^[6] Ее можно построить, применив преобразование к подвижной системе координат общей винтовой линии. ^[7]

Для более общих спиральных пространственных кривых см. пространственная спираль ; например, сферическая спираль .

Руко-ориентированность

Спирали могут быть как правыми, так и левыми. Если при взгляде вдоль оси спирали закручивающее движение по часовой стрелке перемещает спираль от наблюдателя, то она называется правой спиралью; если к наблюдателю, то это левая спираль. Направленность (или хиральность ) — это свойство спирали, а не перспективы: правую спираль нельзя повернуть так, чтобы она выглядела как левая, если только не смотреть на нее в зеркало, и наоборот.

Два типа спиралей показаны в сравнении . Это показывает две хиральности спиралей. Одна левосторонняя, другая правосторонняя. Каждая строка сравнивает две спирали с разных точек зрения. Хиральность — это свойство объекта, а не перспективы ( угла зрения)

Математическое описание

Спираль, состоящая из синусоидальных x и y компонентов

В математике спираль — это кривая в трехмерном пространстве . Следующая параметризация в декартовых координатах определяет конкретную спираль; ^[8] возможно, простейшими уравнениями для нее являются

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}}$

При увеличении параметра t точка ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) описывает правостороннюю спираль с шагом 2π ( или наклоном 1) и радиусом 1 вокруг оси z в правосторонней системе координат.

В цилиндрических координатах ( r , θ , h ) та же спираль параметризуется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}}$

Круговая спираль радиусом a и наклоном ⁠а/б⁠ (или шаг 2 πb ) описывается следующей параметризацией:

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}}$

Другой способ математического построения спирали — это построение графика комплекснозначной функции e ^xi как функции действительного числа x (см. формулу Эйлера ). Значение x , а также действительная и мнимая части значения функции дают этому графику три действительных измерения.

За исключением вращений , перемещений и изменений масштаба, все правосторонние спирали эквивалентны спирали, определенной выше. Эквивалентная левосторонняя спираль может быть построена несколькими способами, простейшим из которых является отрицание любого из компонентов x , y или z .

Длина дуги, кривизна и кручение

Круговая спираль радиусом a и наклоном ⁠а/б⁠ (или шаг 2 πb ) выраженный в декартовых координатах как параметрическое уравнение

${\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}$

имеет длину дуги

${\displaystyle A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

кривизна​​

${\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}},}$

и кручение​

${\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Спираль имеет постоянную ненулевую кривизну и кручение.

Спираль — это векторная функция

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}}$$

Таким образом, спираль можно перепараметризовать как функцию s , которая должна быть единичной скоростью:

$${\displaystyle \mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

Единичный касательный вектор равен

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k} }$$

Нормальный вектор равен

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

Его кривизна

$${\displaystyle \kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$$.

Единичный нормальный вектор равен

$${\displaystyle \mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} }$$

Бинормальный вектор — это

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}}$$

Его кручение равно $${\displaystyle \tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.}$$

Примеры

Примером двойной спирали в молекулярной биологии является двойная спираль нуклеиновой кислоты .

Примером конической спирали являются американские горки «Штопор» в парке развлечений Сидар-Пойнт .

Некоторые кривые, встречающиеся в природе, состоят из нескольких спиралей разной направленности, соединенных вместе переходами, известными как извращения усиков .

Большинство резьбовых соединений оборудования имеют правую спираль. Альфа-спираль в биологии, а также формы A и B ДНК также являются правыми спиралями. Z-форма ДНК имеет левую спираль.

В музыке пространство высоты тона часто моделируется спиралями или двойными спиралями, чаще всего выходящими за пределы круга, например, круга квинт , чтобы представить эквивалентность октавы .

В авиации геометрический шаг — это расстояние, на которое элемент воздушного винта самолета продвинулся бы за один оборот, если бы он двигался по винтовой линии, имеющей угол, равный углу между хордой элемента и плоскостью, перпендикулярной оси воздушного винта; см. также: угол тангажа (авиация) .

• 
  Кристаллическая структура складчатой ​​молекулярной спирали, описанная Леном и др. ^[9]
• 
  Естественная левозакрученная спираль, образованная вьющимся растением.
• 
  Заряженная частица в однородном магнитном поле движется по винтовой траектории.
• 
  Винтовая пружина

Смотрите также

• Альфа-спираль
• Дуговая пружина
• спираль Бурдейка-Коксетера
• Круговая поляризация
• Коллагеновая спираль
• Винтовая симметрия
• Спиральность
• Угол наклона винтовой линии
• Винтовая ось
• Гемихеликс
• Поверхность ракушки
• Соленоид
• Суперспираль
• тройная спираль

Ссылки

1. ἕλιξ Архивировано 16 октября 2012 г. на Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
2. Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид». MathWorld .
3. «Двойная спираль, архив 2008-04-30 на Wayback Machine » Шандора Кабаи, Wolfram Demonstrations Project .
4. О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961 стр. 72
5. О'Нил, Б. Элементарная дифференциальная геометрия, 1961 стр. 74
6. Изумия, С. и Такеучи, Н. (2004) Новые специальные кривые и развертывающиеся поверхности. Turk J Math Архивировано 04.03.2016 в Wayback Machine , 28:153–163.
7. Меннингер, Т. (2013), Явная параметризация аппарата Френе для наклонной спирали . arXiv:1302.3175 Архивировано 05.02.2018 на Wayback Machine .
8. Вайсштейн, Эрик В. "Helix". MathWorld .
9. Шмитт, Дж.-Л.; Штадлер, А.-М.; Кирицакас, Н.; Лен, Дж.-М. (2003). «Молекулярные цепи, кодируемые спиральностью: эффективный доступ по маршруту гидразона и структурные особенности». Helvetica Chimica Acta . 86 (5): 1598–1624. doi :10.1002/hlca.200390137.