Спиральная секция

Спиральные сечения как плоские сечения тора

В геометрии спириковое сечение , иногда называемое спириком Персея , представляет собой плоскую кривую четвертой степени , определяемую уравнениями вида

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.\,}$

Эквивалентно, спиро-сечения могут быть определены как бициркулярные четвертичные кривые, которые симметричны относительно осей x и y . Спиро-сечения включены в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что означает тор на древнегреческом языке. ^[1]

Спиральное сечение иногда определяется как кривая пересечения тора и плоскости, параллельной его оси вращательной симметрии. Однако это определение не включает все кривые, заданные предыдущим определением, если только не допускаются воображаемые плоскости.

Спиральные сечения были впервые описаны древнегреческим геометром Персеем примерно в 150 г. до н.э. и считаются первыми описанными торическими сечениями. Название «спирический» происходит от древнего обозначения тора spira ., ^{[2] [3]}

Уравнения

а  = 1, б  = 2, в  = 0, 0,8, 1

Начнем с обычного уравнения для тора:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Поменяв местами y и z так, чтобы ось вращения теперь находилась в плоскости xy , и установив z = c для нахождения кривой пересечения, получаем

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,}$

В этой формуле тор образован вращением окружности радиуса a с центром, следующим за другой окружностью радиуса b (не обязательно больше a , самопересечение допускается). Параметр c — это расстояние от пересекающей плоскости до оси вращения. Спиральных сечений с c  >  b  +  a нет , поскольку пересечения нет; плоскость слишком далека от тора, чтобы пересечь его.

Разложение уравнения дает форму, указанную в определении

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,}$

где

${\displaystyle d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}).\,}$

В полярных координатах это становится

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,}$

или

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f.}$

Спиральные сечения на веретенообразном торе

Спиральные сечения на веретенообразном торе

Спиральные сечения на торе веретена, плоскости которого пересекают веретено (внутреннюю часть), состоят из внешней и внутренней кривой (см. рисунок).

Спиральные сечения как изоптики

Изоптики эллипсов и гипербол являются спи-рическими сечениями. (См. также веб-ссылку The Mathematics Enthusiast .)

Примеры спириковых сечений

Примерами служат гиппопеде и овал Кассини , а также их родственники, такие как лемниската Бернулли . Овал Кассини обладает замечательным свойством: произведение расстояний до двух фокусов постоянно. Для сравнения, сумма постоянна в эллипсах , разность постоянна в гиперболах , а отношение постоянно в окружностях .

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Спирическое сечение». MathWorld .
• История Мактьютора
• Описание 2Dcurves.com
• Биография Персея по Мактьютору
• Математический энтузиаст номер 9, статья 4

Специфический

1. Брискорн, Эгберт; Кнёррер, Хорст (1986). Плоские алгебраические кривые. Modern Birkhäuser Classics. Перевод Stillwell, John. Birkhäuser/Springer Basel AG. стр. 16. doi :10.1007/978-3-0348-5097-1. ISBN 978-3-0348-0492-9. МР  2975988.Слово σπειρα изначально означало моток веревки и стало обозначать основание колонны, которое для некоторых порядков колонн имело форму тора: см. Yates, James (1875). «Спира». В Smith, William (ред.). Словарь греческих и римских древностей. Лондон: John Murray.
2. Джон Стиллвелл: Математика и ее история , Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-1-4419-6053-5 , стр. 33. 
3. Уилбур Р. Кнорр : Древняя традиция геометрических задач , Dover-Publ., Нью-Йорк, 1993, ISBN 0-486-67532-7 , стр. 268.