Сплюснутые сфероидальные координаты

Трехмерная ортогональная система координат

Рисунок 1: Координатные изоповерхности для точки  P (показана как черная сфера) в сплюснутых сфероидальных координатах ( μ , ν , φ ) . Ось z вертикальна, а фокусы находятся на  ±2 . Красный сплюснутый сфероид (сплющенная сфера) соответствует μ = 1 , тогда как синий полугиперболоид соответствует ν = 45° . Азимут φ = −60° измеряет двугранный угол между зеленой полуплоскостью xz и желтой полуплоскостью, которая включает точку  P. Декартовы координаты точки P примерно равны (1,09, −1,89, 1,66) .

Сплюснутые сфероидальные координаты представляют собой трехмерную ортогональную систему координат , которая получается в результате вращения двумерной эллиптической системы координат вокруг нефокальной оси эллипса, т. е. оси симметрии, разделяющей фокусы. Таким образом, два фокуса преобразуются в кольцо радиуса в плоскости x - y . (Вращение вокруг другой оси дает вытянутые сфероидальные координаты .) Сплюснутые сфероидальные координаты также можно рассматривать как предельный случай эллипсоидальных координат, в которых две наибольшие полуоси равны по длине. ${\displaystyle a}$

Сплюснутые сфероидальные координаты часто полезны при решении уравнений в частных производных , когда граничные условия определены на сплющенном сфероиде или гиперболоиде вращения . Например, они сыграли важную роль в вычислении коэффициентов трения Перрена , что способствовало присуждению Нобелевской премии по физике 1926 года Жану Батисту Перрену . Эти коэффициенты трения определяют вращательную диффузию молекул, которая влияет на осуществимость многих методов, таких как ЯМР белков , и из которых можно вывести гидродинамический объем и форму молекул. Сплюснутые сфероидальные координаты также полезны в задачах электромагнетизма (например, диэлектрическая проницаемость заряженных сплющенных молекул), акустики (например, рассеяние звука через круглое отверстие), гидродинамики (например, поток воды через сопло пожарного шланга) и диффузии материалов и тепла (например, охлаждение раскаленной монеты в водяной бане)

Определение (μ,ν,φ)

Рисунок 2: График сплющенных сфероидальных координат μ и ν в плоскости x - z , где φ равно нулю, а a равно единице. Кривые постоянной μ образуют красные эллипсы, тогда как кривые постоянной ν образуют голубые полугиперболы в этой плоскости. Ось z проходит вертикально и разделяет фокусы; координаты z и ν всегда имеют один и тот же знак. Поверхности постоянной μ и ν в трех измерениях получаются вращением вокруг оси z и являются красной и синей поверхностями соответственно на рисунке 1.

Наиболее распространенное определение сплюснутых сфероидальных координат : ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$$

где — неотрицательное действительное число, а угол . Азимутальный угол может попадать в любое место на полной окружности, между . Эти координаты предпочтительнее альтернатив ниже, поскольку они не вырождены; набор координат описывает уникальную точку в декартовых координатах . Обратное также верно, за исключением оси и диска в плоскости внутри фокального кольца. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xy}$

Координатные поверхности

Поверхности постоянной μ образуют сплющенные сфероиды , согласно тригонометрическому тождеству $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$$

поскольку они являются эллипсами, повернутыми вокруг оси z , которая разделяет их фокусы. Эллипс в плоскости x - z (рисунок 2) имеет большую полуось длиной a cosh μ вдоль оси x , тогда как его малая полуось имеет длину a sinh μ вдоль оси z . Фокусы всех эллипсов в плоскости x - z расположены на оси x в точке ± a .

Аналогично, поверхности постоянной ν образуют однополостные полугиперболоиды вращения по гиперболическому тригонометрическому тождеству

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$$

При положительном ν полугиперболоид находится выше плоскости x - y (т. е. имеет положительный z ), тогда как при отрицательном ν полугиперболоид находится ниже плоскости x - y (т. е. имеет отрицательный z ). Геометрически угол ν соответствует углу асимптот гиперболы . Фокусы всех гипербол также расположены на оси x в точке ± a .

Обратное преобразование

Координаты (μ, ν, φ) могут быть вычислены из декартовых координат ( x , y , z ) следующим образом. Азимутальный угол φ определяется по формуле $${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$$

Цилиндрический радиус ρ точки P определяется как , а ее расстояния до фокусов в плоскости, определяемой φ, определяются как $${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$$

Остальные координаты μ и ν можно вычислить из уравнений $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}$$

где знак μ всегда неотрицателен, а знак ν такой же, как у z .

Другой метод вычисления обратного преобразования —

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$$

где $${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Масштабные факторы

Масштабные коэффициенты для координат μ и ν равны , тогда как азимутальный масштабный коэффициент равен $${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$$ $${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен и Лапласиан можно записать $${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах (μ, ν, φ) путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Базисные векторы

Ортонормальные базисные векторы для системы координат можно выразить в декартовых координатах как ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}$$

где — декартовы единичные векторы. Здесь — внешний нормальный вектор к сплюснутой сфероидальной поверхности постоянной , — тот же азимутальный единичный вектор из сферических координат, и лежит в касательной плоскости к сплюснутой сфероидальной поверхности и завершает правый базисный набор. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$

Определение (ζ, ξ, φ)

Другой набор сплющенных сфероидальных координат иногда используется, где и (Smythe 1968). Кривые константы являются сплющенными сфероидами, а кривые константы являются гиперболоидами вращения. Координата ограничена и ограничена . ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$ ${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$ ${\displaystyle \xi =\sin \nu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle -1\leq \xi <1}$

Связь с декартовыми координатами следующая: $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}}$$

Масштабные факторы

Коэффициенты масштабирования : ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}$$

Зная масштабные коэффициенты, можно вычислить различные функции координат общим методом, изложенным в статье об ортогональных координатах . Элемент бесконечно малого объема равен: $${\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }$$

Градиент: $${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$$

Расхождение составляет: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$$

и Лапласиан равен $${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$$

Сплющенные сфероидальные гармоники

Как и в случае со сферическими координатами и сферическими гармониками , уравнение Лапласа можно решить методом разделения переменных , получив решения в виде сплющенных сфероидальных гармоник , которые удобно использовать, когда граничные условия заданы на поверхности с постоянной сплющенной сфероидальной координатой.

Следуя методу разделения переменных , решение уравнения Лапласа записывается: $${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$$

Это дает три отдельных дифференциальных уравнения для каждой из переменных: где m — константа, которая является целым числом, поскольку переменная φ является периодической с периодом 2π. Тогда n будет целым числом. Решение этих уравнений: где — константы, а и — соответствующие полиномы Лежандра первого и второго рода соответственно. Произведение трех решений называется сплющенной сфероидальной гармоникой , а общее решение уравнения Лапласа записывается как: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle P_{n}^{m}(z)}$ ${\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$ $${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$$

Константы объединяются, давая только четыре независимые константы для каждой гармоники.

Определение (σ, τ, φ)

Рисунок 3: Координатные изоповерхности для точки P (показанной как черная сфера) в альтернативных сплющенных сфероидальных координатах (σ, τ, φ). Как и прежде, сплющенный сфероид, соответствующий σ, показан красным, а φ измеряет азимутальный угол между зеленой и желтой полуплоскостями. Однако поверхность постоянного τ является полным однополостным гиперболоидом, показанным синим цветом. Это приводит к двукратному вырождению, показанному двумя черными сферами, расположенными в ( x , y , ± z ).

Иногда используется альтернативный и геометрически интуитивный набор сплющенных сфероидальных координат (σ, τ, φ), где σ = cosh μ и τ = cos ν. ^[1] Следовательно, координата σ должна быть больше или равна единице, тогда как τ должна лежать между ±1 включительно. Поверхности постоянного σ являются сплющенными сфероидами, как и поверхности постоянного μ, тогда как кривые постоянного τ являются полными гиперболоидами вращения, включая полугиперболоиды, соответствующие ±ν. Таким образом, эти координаты вырождены; две точки в декартовых координатах ( x , y , ± z ) отображаются в один набор координат (σ, τ, φ). Это двукратное вырождение по знаку z очевидно из уравнений, преобразующих сплющенные сфероидальные координаты в декартовы координаты $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Координаты и имеют простую связь с расстояниями до фокусного кольца. Для любой точки сумма ее расстояний до фокусного кольца равна , тогда как их разность равна . Таким образом, «дальнее» расстояние до фокусного кольца равно , тогда как «ближнее» расстояние равно . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$

Координатные поверхности

Подобно своему аналогу μ, поверхности постоянного σ образуют сплющенные сфероиды $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$$

Аналогично поверхности постоянного τ образуют полные однополостные гиперболоиды вращения $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$$

Масштабные факторы

Масштабные коэффициенты для альтернативных сплюснутых сфероидальных координат равны , тогда как азимутальный масштабный коэффициент равен . ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$

Следовательно, бесконечно малый элемент объема может быть записан , а Лапласиан равен $${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Другие дифференциальные операторы, такие как и , могут быть выражены в координатах путем подстановки масштабных множителей в общие формулы, найденные в ортогональных координатах . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Как и в случае со сферическими координатами , уравнение Лапласа может быть решено методом разделения переменных с получением решений в виде сплющенных сфероидальных гармоник , которые удобно использовать, когда граничные условия определены на поверхности с постоянной сплющенной сфероидальной координатой (см. Smythe, 1968).

Смотрите также

• Эллипсоидальные координаты (геодезия)

Ссылки

1. Абрамовиц и Стегун, с. 752.

Библиография

Никаких угловых условностей

• Морзе П.М., Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 662. Использует ξ ₁ = a sinh µ, ξ ₂ = sin ν и ξ ₃ = cos φ.
• Zwillinger D (1992). Справочник по интеграции . Бостон, Массачусетс: Jones and Bartlett. стр. 115. ISBN 0-86720-293-9. То же, что и у Морзе и Фешбаха (1953), с заменой u _k на ξ _k .
• Смайт, У. Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 98. LCCN  67025285. Использует гибридные координаты ξ = sinh µ, η = sin ν и φ.

Условное обозначение угла

• Корн ГА, Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 177. LCCN  59014456. Корн и Корн используют координаты (μ, ν, φ), но также вводят вырожденные координаты (σ, τ, φ).
• Маргенау Х, Мерфи ГМ (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 182. LCCN  55010911. Как и Корн и Корн (1961), но использует кошироту θ = 90° - ν вместо широты ν.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Сплющенные сфероидальные координаты (η, θ, ψ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). New York: Springer Verlag. С. 31–34 (таблица 1.07). ISBN 0-387-02732-7. Мун и Спенсер используют соглашение о кошироте θ = 90° - ν и переименовывают φ в ψ.

Необычная конвенция

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред (т. 8 Курса теоретической физики ) (2-е изд.). Нью-Йорк: Pergamon Press. С. 19–29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Рассматривает сплюснутые сфероидальные координаты как предельный случай общих эллипсоидальных координат . Использует координаты (ξ, η, ζ), имеющие единицы измерения расстояния в квадрате.

Внешние ссылки

• Описание MathWorld сплюснутых сфероидальных координат