Спутниковый узел

Тип математического узла

В математической теории узлов узел - спутник — это узел , содержащий несжимаемый тор , не параллельный границе, в своем дополнении . ^[1] Каждый узел является либо гиперболическим, либо тором, либо узлом-спутником. Класс узлов-спутников включает составные узлы, кабельные узлы и двойные узлы Уайтхеда . Спутниковая связь — это та, которая вращается вокруг узла-спутника K в том смысле, что она лежит внутри регулярной окрестности узла-спутника. ^{[2] : 217}

Узел-сателлит можно образно описать следующим образом: начните с нетривиального узла, лежащего внутри незаузленного полнотора . Здесь «нетривиальный» означает, что узел не может находиться внутри 3-шара и не может быть изотопным центральной кривой ядра полнотора. Затем свяжите полнотор в нетривиальный узел. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$

Это означает, что существует нетривиальное вложение и . Центральная кривая ядра сплошного тора отправляется в узел , который называется «сопутствующим узлом» и рассматривается как планета, вокруг которой вращается «спутниковый узел». Конструкция гарантирует, что является неграничным параллельным несжимаемым тором в дополнении к . Составные узлы содержат определенный вид несжимаемого тора, называемого глотающим-следующим тором , который можно визуализировать как поглощающий одно слагаемое и следующий за другим слагаемым. ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ ${\displaystyle K=f\left(K'\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f(\partial V)}$ ${\displaystyle K}$

Так как — незаузленный сплошной тор, — трубчатая окрестность незаузленного тора . Двухкомпонентная связь вместе с вложением называется шаблоном, связанным с операцией спутника. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus V}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle f}$

Соглашение: люди обычно требуют, чтобы вложение было раскручено в том смысле, что оно должно отправлять стандартную долготу в стандартную долготу . Другими словами, если заданы любые две непересекающиеся кривые , то сохраняются их связующие числа, то есть: . ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(V)}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}\subset V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {lk} (f(c_{1}),f(c_{2}))=\operatorname {lk} (c_{1},c_{2})}$

Основные семьи

Когда — торический узел , то называется канатным узлом . Примеры 3 и 4 — канатные узлы. Канат, построенный с заданными числами витков ( m , n ) из другого узла K , часто называют ( m , n ) канатом узла K. ${\displaystyle K'\subset \partial V}$ ${\displaystyle K}$

Если — нетривиальный узел в и если сжимающий диск для пересекается ровно в одной точке, то называется connect-sum . Другими словами, шаблон — это connect-sum нетривиального узла с зацеплением Хопфа. ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle K'}$

Если связь является связью Уайтхеда , называется двойной связью Уайтхеда . Если не скручена, называется нескрученной двойной связью Уайтхеда. ${\displaystyle K'\cup J}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$

Примеры

• 
  Пример 1: Соединительная сумма трилистника и узла-восьмерки.
• 
  Пример 2: Двойной Уайтхеда в фигуре «восьмерка».
• 
  Пример 3: Кабель суммы соединения.
• 
  Пример 4: Трос трилистника.
• 
  Пример 5: Узел, который является 2-кратным спутником, т.е. имеет непараллельные ласточкины торы.
• 
  Пример 6: Узел, который является 2-кратным спутником, т.е. имеет непараллельные ласточкины торы.

Примеры 5 и 6 являются вариантами одной и той же конструкции. Они оба имеют два непараллельных, не параллельных границе несжимаемых тора в своих дополнениях, разделяя дополнение на объединение трех многообразий. В 5 эти многообразия следующие: дополнение колец Борромео , дополнение трилистника и дополнение восьмерки. В 6 дополнение восьмерки заменено другим дополнением трилистника.

Происхождение

В 1949 году ^[3] Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в разлагается в коннективную сумму простых узлов единственным образом, с точностью до переупорядочения, создавая моноид ориентированных изотопических классов узлов в свободном коммутативном моноиде на счетно-бесконечном числе образующих. Вскоре после этого он понял, что может дать новое доказательство своей теоремы путем тщательного анализа несжимаемых торов, присутствующих в дополнении коннективной суммы. Это привело его к изучению общих несжимаемых торов в дополнениях узлов в его эпическом труде Knoten und Vollringe ^[4] , где он определил сателлитные и сопутствующие узлы. ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Последующая работа

Демонстрация Шуберта того, что несжимаемые торы играют важную роль в теории узлов, была одним из нескольких ранних прозрений, приведших к объединению теории 3-многообразий и теории узлов. Она привлекла внимание Вальдхаузена, который позже использовал несжимаемые поверхности, чтобы показать, что большой класс 3-многообразий гомеоморфен тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы изоморфны. ^[5] Вальдхаузен предположил то, что сейчас называется разложением Жако–Шалена–Иогансона 3-многообразий, которое является разложением 3-многообразий вдоль сфер и несжимаемых торов. Позже это стало основным ингредиентом в развитии геометризации , которую можно рассматривать как частичную классификацию 3-мерных многообразий. Ответвления для теории узлов были впервые описаны в давно неопубликованной рукописи Бонахона и Зибенмана. ^[6]

Уникальность разложения спутника

В Knoten und Vollringe Шуберт доказал, что в некоторых случаях существует по сути единственный способ выразить узел как спутник. Но также известно много примеров, когда разложение не является единственным. ^[7] С соответствующим образом расширенным понятием операции спутника, называемым сращиванием, разложение JSJ дает надлежащую теорему уникальности для спутниковых узлов. ^{[8] [9]}

Смотрите также

• Гиперболический узел
• узел тора
• Бинг двойной

Ссылки

1. Колин Адамс, Книга узлов: Элементарное введение в математическую теорию узлов , (2001), ISBN  0-7167-4219-5
2. Menasco, William ; Thistlethwaite, Morwen , ред. (2005). Справочник по теории узлов. Elsevier. ISBN 0080459544. Получено 2014-08-18 .
3. Шуберт, Х. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens в Primknoten. С.-Б Гейдельбергер Акад. Висс. Матем.-Нат. кл. 1949 (1949), 57–104.
4. Шуберт, Х. Кнотен и Фоллринге. Акта Математика. 90 (1953), 131–286.
5. Вальдхаузен, Ф. О неприводимых 3-многообразиях достаточно больших размеров. Ann. of Math. (2) 87 (1968), 56–88.
6. Ф. Бонахон, Л. Зибенман, Новые геометрические разбиения классических узлов, классификация и симметрии древовидных узлов, [1]
7. Мотеги, К. Типы узлов-сателлитов и скрученных узлов. Лекции на Knots '96. World Scientific.
8. Эйзенбуд, Д. Нойман, В. Теория трехмерных связей и инварианты особенностей плоских кривых. Ann. of Math. Stud. 110
9. Budney, R. JSJ-разложения узлов и дополнений зацеплений в S^3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv:math.GT/0506523