Гармоническое среднее

Обратное значение среднего значения обратных чисел набора чисел

В математике гармоническое среднее является одним из нескольких видов среднего , и в частности, одним из средних Пифагора . Иногда оно подходит для ситуаций, когда требуется средняя скорость . ^[1]

Гармоническое среднее может быть выражено как обратная величина арифметического среднего обратных величин данного набора наблюдений. В качестве простого примера, гармоническое среднее 1, 4 и 4 равно

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

Определение

Гармоническое среднее значение H положительных действительных чисел определяется как ^[2] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

Это величина, обратная среднему арифметическому обратных величин, и наоборот:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

где среднее арифметическое определяется как ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Гармоническое среднее является вогнутой по Шуру функцией и доминируется минимумом своих аргументов в том смысле, что для любого положительного набора аргументов, . Таким образом, гармоническое среднее нельзя сделать произвольно большим , изменяя некоторые значения на большие (при этом хотя бы одно значение должно оставаться неизменным). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

Гармоническое среднее также вогнуто , что является даже более сильным свойством, чем вогнутость Шура. Однако следует позаботиться о том, чтобы использовать только положительные числа, поскольку среднее не будет вогнутым, если используются отрицательные значения. ^{[ необходима цитата ]}

Связь с другими средствами

Геометрическое доказательство без слов того, что max  ( a , b ) > среднеквадратичное ( RMS ) или среднее квадратичное ( QM ) > среднее арифметическое ( AM ) > среднее геометрическое ( GM ) > среднее гармоническое ( HM ) > min  ( a , b ) двух различных положительных чисел a и b ^{[примечание 1]}

Для всех положительных наборов данных, содержащих хотя бы одну пару неравных значений , среднее гармоническое всегда является наименьшим из трех средних пифагоровых значений, ^[3] в то время как среднее арифметическое всегда является наибольшим из трех, а среднее геометрическое всегда находится между ними. (Если все значения в непустом наборе данных равны, три средних значения всегда равны друг другу; например, среднее гармоническое, геометрическое и среднее арифметическое {2, 2, 2} все равны 2.)

Это частный случай M ₋₁ степенного среднего : $${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

Поскольку среднее гармоническое списка чисел имеет сильную тенденцию к наименьшим элементам списка, оно имеет тенденцию (по сравнению со средним арифметическим) смягчать влияние крупных выбросов и усугублять влияние мелких.

Среднее арифметическое часто ошибочно используется в местах, где требуется среднее гармоническое. ^[4] Например, в приведенном ниже примере скорости среднее арифметическое 40 неверно и слишком велико.

Гармоническое среднее связано с другими пифагорейскими средними, как показано в уравнении ниже. Это можно увидеть, интерпретируя знаменатель как среднее арифметическое произведения чисел n раз, но каждый раз опуская j -й член. То есть, для первого члена мы умножаем все n чисел, кроме первого; для второго мы умножаем все n чисел, кроме второго; и так далее. Числитель, исключая n , который идет со средним арифметическим, является геометрическим средним в степени  n . Таким образом, n -е гармоническое среднее связано с n -м геометрическим и арифметическим средним. Общая формула имеет вид $${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

Если набор неидентичных чисел подвергается разбросу с сохранением среднего значения — то есть два или более элемента набора «разносятся» друг от друга, оставляя среднее арифметическое неизменным, — то среднее гармоническое всегда уменьшается. ^[5]

Среднее гармоническое двух или трех чисел

Два числа

Геометрическое построение трех пифагорейских средних двух чисел, a и b . Гармоническое среднее обозначено H фиолетовым цветом, а арифметическое — A красным цветом, а геометрическое — G синим цветом. Q обозначает четвертое среднее, квадратичное среднее . Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета прямоугольного треугольника , диаграмма показывает, что . ${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q}$

Графическая интерпретация гармонического среднего z двух чисел x и y и номограмма для его вычисления. Синяя линия показывает, что гармоническое среднее 6 и 2 равно 3. Пурпурная линия показывает, что гармоническое среднее 6 и −2 равно −6. Красная линия показывает, что гармоническое среднее числа и его отрицательного значения не определено, поскольку линия не пересекает ось z .

Для частного случая всего двух чисел и гармоническое среднее можно записать ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ или ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

В этом особом случае среднее гармоническое связано со средним арифметическим и средним геометрическим соотношением ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

Так как по неравенству средних арифметических и геометрических , это показывает для случая n = 2, что H ≤ G (свойство, которое фактически выполняется для всех n ). Из этого также следует, что , то есть среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их средних арифметических и гармонических. ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$ ${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

Три числа

Для частного случая трех чисел , и , гармоническое среднее можно записать ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Три положительных числа H , G и A являются соответственно гармоническим, геометрическим и арифметическим средними трех положительных чисел тогда и только тогда, когда ^{[6] : стр.74, №1834} выполняется следующее неравенство

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Взвешенное гармоническое среднее

Если набор весов , ..., связан с набором данных , ..., , то взвешенное гармоническое среднее определяется как ^[7] ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

Невзвешенное гармоническое среднее можно рассматривать как особый случай, когда все веса равны.

Примеры

В физике

Средняя скорость

Во многих ситуациях, связанных со скоростями и отношениями , гармоническое среднее обеспечивает правильное среднее значение . Например, если транспортное средство проезжает определенное расстояние d со скоростью x (например, 60 км/ч) и возвращается на то же расстояние со скоростью y (например, 20 км/ч), то его средняя скорость является гармоническим средним x и y (30 км/ч), а не арифметическим средним (40 км/ч). Общее время в пути такое же, как если бы оно проехало все расстояние со средней скоростью. Это можно доказать следующим образом: ^[8]

Средняя скорость на всем пути = ⁠Общее пройденное расстояние/Сумма времени для каждого сегмента⁠ = ⁠2 дн./⁠г/х⁠ + ⁠г/у⁠⁠ = ⁠2/⁠1/х⁠ + ⁠1/у⁠⁠

Однако если транспортное средство движется в течение определенного времени со скоростью x , а затем такое же время со скоростью y , то его средняя скорость представляет собой среднее арифметическое x и y , что в приведенном выше примере составляет 40 км/ч.

Средняя скорость на всем пути = ⁠Общее пройденное расстояние/Сумма времени для каждого сегмента⁠ = ⁠хт+ут/2т⁠ = ⁠х+у/2⁠

Тот же принцип применим к более чем двум сегментам: если задана серия подпоездок с разной скоростью, если каждая подпоездка покрывает одинаковое расстояние , то средняя скорость является гармоническим средним скоростей всех подпоездок; а если каждая подпоездка занимает одинаковое количество времени , то средняя скорость является арифметическим средним скоростей всех подпоездок. (Если ни то, ни другое не так, то необходимо взвешенное гармоническое среднее или взвешенное арифметическое среднее . Для арифметического среднего скорость каждой части поездки взвешивается по продолжительности этой части, тогда как для гармонического среднего соответствующим весом является расстояние. В обоих случаях полученная формула сводится к делению общего расстояния на общее время.)

Однако можно избежать использования гармонического среднего в случае «взвешивания по расстоянию». Поставьте задачу нахождения «медленности» поездки, где «медленность» (в часах на километр) является обратной величиной скорости. Когда медлительность поездки найдена, инвертируйте ее, чтобы найти «истинную» среднюю скорость поездки. Для каждого сегмента поездки i, медлительность s _i = 1/скорость _i . Затем возьмите взвешенное арифметическое среднее s _i , взвешенных по их соответствующим расстояниям (опционально с весами, нормализованными так, чтобы они в сумме давали 1, разделив их на длину поездки). Это дает истинную среднюю медлительность (во времени на километр). Оказывается, что эта процедура, которую можно выполнить без знания гармонического среднего, сводится к тем же математическим операциям, которые можно было бы использовать при решении этой задачи с использованием гармонического среднего. Таким образом, это иллюстрирует, почему гармоническое среднее работает в этом случае.

Плотность

Аналогично, если кто-то хочет оценить плотность сплава, учитывая плотности его составляющих элементов и их массовые доли (или, что эквивалентно, проценты по массе), то прогнозируемая плотность сплава (исключая обычно незначительные изменения объема из-за эффектов упаковки атомов) является взвешенным гармоническим средним отдельных плотностей, взвешенным по массе, а не взвешенным арифметическим средним, как можно было бы сначала ожидать. Чтобы использовать взвешенное арифметическое среднее, плотности должны быть взвешены по объему. Применение размерного анализа к проблеме с маркировкой единиц массы по элементам и обеспечением того, что только подобные массы элементов сокращаются, делает это ясным.

Электричество

Если соединить два электрических резистора параллельно, один с сопротивлением x (например, 60  Ом ), а другой с сопротивлением y (например, 40 Ом), то эффект будет таким же, как если бы использовались два резистора с одинаковым сопротивлением, оба равные среднему гармоническому значению x и y (48 Ом): эквивалентное сопротивление в любом случае составит 24 Ом (половина среднего гармонического значения). Этот же принцип применим к последовательно соединенным конденсаторам или параллельно соединенным катушкам индуктивности .

Однако если соединить резисторы последовательно, то среднее сопротивление будет равно среднему арифметическому x и y (50 Ом), а общее сопротивление будет равно удвоенному значению, сумме x и y (100 Ом). Этот принцип применим к конденсаторам, соединенным параллельно, или к катушкам индуктивности, соединенным последовательно.

Как и в предыдущем примере, тот же принцип применяется при подключении более двух резисторов, конденсаторов или катушек индуктивности, при условии, что все они соединены параллельно или последовательно.

«Эффективная масса проводимости» полупроводника также определяется как гармоническое среднее эффективных масс вдоль трех кристаллографических направлений. ^[9]

Оптика

Что касается других оптических уравнений , то уравнение тонкой линзы ⁠1/ф⁠ = ⁠1/ты⁠ + ⁠1/в⁠ можно переписать так, чтобы фокусное расстояние f было равно половине гармонического среднего расстояний субъекта u и объекта v от линзы. ^[10]

Две тонкие линзы с фокусным расстоянием f ₁ и f ₂ в серии эквивалентны двум тонким линзам с фокусным расстоянием f _hm , их среднему гармоническому значению, в серии. Выражаясь как оптическая сила , две тонкие линзы с оптической силой P ₁ и P ₂ в серии эквивалентны двум тонким линзам с оптической силой P _am , их среднему арифметическому значению, в серии.

В сфере финансов

Средневзвешенное гармоническое является предпочтительным методом для усреднения мультипликаторов, таких как соотношение цены и прибыли (P/E). Если эти соотношения усредняются с использованием средневзвешенного арифметического, то высокие точки данных получают больший вес, чем низкие точки данных. Средневзвешенное гармоническое, с другой стороны, правильно взвешивает каждую точку данных. ^[11] Простое взвешенное арифметическое среднее при применении к ненормализованным по цене соотношениям, таким как P/E, смещено вверх и не может быть численно обосновано, поскольку оно основано на уравненных доходах; так же, как скорости транспортных средств не могут быть усреднены для поездки туда и обратно (см. выше). ^[12]

В геометрии

В любом треугольнике радиус вписанной окружности равен одной трети гармонического среднего высот .

Для любой точки P на малой дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC, на расстоянии q и t от B и C соответственно, и с пересечением PA и BC, находящимся на расстоянии y от точки P, мы имеем, что y является половиной гармонического среднего q и t . ^[13]

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и высотой h, проведенной от гипотенузы к прямому углу, h ² является половиной гармонического среднего a ² и b ² . ^{[14] [15]}

Пусть t и s ( t > s ) — стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Тогда s ² равно половине гармонического среднего c ² и t ² .

Пусть трапеция имеет вершины A, B, C и D в последовательности и имеет параллельные стороны AB и CD. Пусть E будет пересечением диагоналей , и пусть F будет на стороне DA, а G будет на стороне BC так, что FEG параллелен AB и CD. Тогда FG является гармоническим средним AB и DC. (Это доказывается с помощью подобных треугольников.)

Скрещенные лестницы. h — половина гармонического среднего A и B.

Одно из применений этого результата трапеции — задача о скрещенных лестницах , где две лестницы лежат напротив друг друга поперек переулка, каждая с ножками у основания одной боковой стены, одна из которых опирается на стену на высоте A , а другая опирается на противоположную стену на высоте B , как показано на рисунке. Лестницы пересекаются на высоте h над полом переулка. Тогда h — это половина гармонического среднего A и B. Этот результат сохраняется, если стены наклонные, но все еще параллельные, а «высоты» A , B и h измеряются как расстояния от пола вдоль линий, параллельных стенам. Это можно легко доказать, используя формулу площади трапеции и формулу сложения площадей.

В эллипсе полуширота прямой (расстояние от фокуса до эллипса вдоль линии, параллельной малой оси) представляет собой гармоническое среднее максимального и минимального расстояний эллипса от фокуса.

В других науках

В информатике , в частности в поиске информации и машинном обучении , гармоническое среднее точности ( истинно положительных результатов на предсказанный положительный результат) и отзыва (истинно положительных результатов на реальный положительный результат) часто используется в качестве совокупной оценки производительности для оценки алгоритмов и систем: F-оценка (или F-мера). Это используется в поиске информации, поскольку только положительный класс имеет значение , в то время как число отрицательных результатов, как правило, велико и неизвестно. ^[16] Таким образом, это компромисс относительно того, следует ли измерять правильные положительные прогнозы по отношению к числу предсказанных положительных результатов или числу реальных положительных результатов, поэтому оно измеряется по сравнению с предполагаемым числом положительных результатов, которое является арифметическим средним двух возможных знаменателей.

Следствие возникает из базовой алгебры в задачах, где люди или системы работают вместе. Например, если насос на бензине может осушить бассейн за 4 часа, а насос на батарейках может осушить тот же бассейн за 6 часов, то для этого потребуются оба насоса ⁠6·4/6 + 4⁠ , что равно 2,4 часам, чтобы осушить бассейн вместе. Это половина гармонического среднего 6 и 4: ⁠2·6·4/6 + 4⁠ = 4,8 . То есть, подходящим средним значением для двух типов насосов является гармоническое среднее, и с одной парой насосов (два насоса) это займет половину этого гармонического среднего времени, в то время как с двумя парами насосов (четыре насоса) это займет четверть этого гармонического среднего времени.

В гидрологии среднее гармоническое аналогично используется для усреднения значений гидравлической проводимости для потока, перпендикулярного слоям (например, геологическим или почвенным) - поток, параллельный слоям, использует среднее арифметическое. Эта очевидная разница в усреднении объясняется тем, что гидрология использует проводимость, которая является обратной величиной удельного сопротивления.

В саберметрике показатель мощности и скорости бейсболиста представляет собой гармоническое среднее значение его общего количества хоумранов и украденных баз .

В популяционной генетике гармоническое среднее используется при расчете влияния колебаний численности популяции переписи на эффективную численность популяции. Гармоническое среднее учитывает тот факт, что такие события, как бутылочное горлышко популяции, увеличивают скорость генетического дрейфа и уменьшают количество генетической изменчивости в популяции. Это является результатом того, что после бутылочного горлышка очень немногие особи вносят вклад в генофонд, ограничивая генетическую изменчивость, присутствующую в популяции на многие поколения вперед.

При рассмотрении экономии топлива в автомобилях обычно используются две меры — мили на галлон (mpg) и литры на 100 км. Поскольку измерения этих величин являются обратными друг другу (одна — расстояние на объем, другая — объем на расстояние), при взятии среднего значения экономии топлива ряда автомобилей одна мера даст среднее гармоническое другой — т. е. преобразование среднего значения экономии топлива, выраженного в литрах на 100 км, в мили на галлон даст среднее гармоническое экономии топлива, выраженное в милях на галлон. Для расчета среднего расхода топлива парка транспортных средств из индивидуальных расходов топлива следует использовать среднее гармоническое, если парк использует мили на галлон, тогда как среднее арифметическое следует использовать, если парк использует литры на 100 км. В США стандарты CAFE (федеральные стандарты расхода топлива для автомобилей) используют среднее гармоническое.

В химии и ядерной физике средняя масса частицы смеси, состоящей из различных видов (например, молекул или изотопов), определяется как гармоническое среднее масс отдельных видов, умноженное на их соответствующую массовую долю.

Бета-распределение

Гармоническое среднее для бета-распределения для 0 < α < 5 и 0 < β < 5

(Среднее - Гармоническое среднее) для распределения бета в зависимости от альфа и бета от 0 до 2

Гармонические средние для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), меньшие значения альфа и бета впереди

Гармонические средние для бета-распределения Фиолетовый=H(X), Желтый=H(1-X), большие значения альфа и бета впереди

Гармоническое среднее бета-распределения с параметрами формы α и β равно:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

Гармоническое среднее при α < 1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Пусть α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

показывая, что при α = β гармоническое среднее изменяется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (не равен нулю), а другой параметр приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

В сочетании со средним геометрическим среднее гармоническое может быть полезным при оценке максимального правдоподобия в случае четырех параметров.

Для этого распределения также существует второе гармоническое среднее ( H _{1 − X )}

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Это гармоническое среднее с β < 1 не определено, поскольку его определяющее выражение не ограничено в [0, 1].

Положим α = β в приведенном выше выражении

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

показывая, что при α = β гармоническое среднее изменяется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы, в которых один параметр конечен (не равен нулю), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Хотя оба гармонических средних асимметричны, при α = β оба средних равны.

Логнормальное распределение

Гармоническое среднее ( H ) логнормального распределения случайной величины X равно ^[17]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

где μ и σ ² — параметры распределения , т.е. среднее значение и дисперсия распределения натурального логарифма X.

Гармоническое и арифметическое средние распределения связаны соотношением

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

где C _v и μ ^* — коэффициент вариации и среднее значение распределения соответственно.

Геометрическое ( G ), арифметическое и гармоническое средние распределения связаны соотношением ^[18]

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

Распределение Парето

Гармоническое среднее распределение Парето типа 1 равно ^[19]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

где k — параметр масштаба, а α — параметр формы.

Статистика

Для случайной выборки гармоническое среднее вычисляется, как указано выше. Как среднее , так и дисперсия могут быть бесконечными (если они включают хотя бы один член формы 1/0).

Выборочные распределения среднего значения и дисперсии

Среднее значение выборки m асимптотически распределено нормально с дисперсией s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

Дисперсия самого среднего значения равна ^[20]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

где m — среднее арифметическое обратных величин, x — переменные, n — размер популяции, а E — оператор ожидания.

Дельта-метод

Предполагая, что дисперсия не бесконечна и что центральная предельная теорема применима к выборке, то, используя дельта-метод , дисперсия равна

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

где H — среднее гармоническое, m — среднее арифметическое обратных величин

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² — дисперсия обратных величин данных

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

и n — количество точек данных в выборке.

Метод складного ножа

Метод складного ножа для оценки дисперсии возможен, если известно среднее значение. ^[21] Этот метод представляет собой обычную версию «удалить 1», а не «удалить m».

Этот метод сначала требует вычисления среднего значения выборки ( m ).

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

где x — выборочные значения.

Затем вычисляется ряд значений w _{i , где}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Затем берется среднее значение ( h ) w i _:

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

Дисперсия среднего значения равна

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

Затем можно оценить значимость проверки и доверительные интервалы для среднего значения с помощью t-теста .

Выборка с предвзятым размером

Предположим, что случайная переменная имеет распределение f ( x ). Предположим также, что вероятность выбора переменной пропорциональна ее значению. Это известно как выборка, основанная на длине или смещенная по размеру.

Пусть μ будет средним значением популяции. Тогда функция плотности вероятности f *( x ) популяции, смещенной по размеру, равна

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

Ожидаемое значение этого распределения смещения длины E ^* ( x ) равно ^[20]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

где σ ² — дисперсия.

Ожидаемое значение гармонического среднего такое же, как и в версии без смещения длины E( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

Проблема выборки, смещенной по длине, возникает в ряде областей, включая текстильное производство ^[22], анализ родословной ^[23] и анализ выживаемости ^[24].

Акман и др. разработали тест для обнаружения смещения, основанного на длине образцов. ^[25]

Смещенные переменные

Если X — положительная случайная величина и q > 0, то для всех ε > 0 ^[26]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Моменты

Предполагая, что X и E( X ) > 0, тогда ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Это следует из неравенства Йенсена .

Гурланд показал, что ^[27] для распределения, которое принимает только положительные значения, для любого n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

При некоторых условиях ^[28]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

где ~ означает приблизительно равно.

Свойства выборки

Предполагая, что переменные ( x ) получены из логнормального распределения, существует несколько возможных оценок для H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

Из них H _3, вероятно, является лучшей оценкой для выборок из 25 и более. ^[29]

Оценки смещения и дисперсии

Приближение первого порядка к смещению и дисперсии H ₁ равно ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

где C _v — коэффициент вариации.

Аналогично, приближение первого порядка к смещению и дисперсии H 3 _[ ^30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

В численных экспериментах H ₃ обычно является лучшим оценщиком гармонического среднего, чем H ₁ . ^[30] H ₂ дает оценки, которые во многом похожи на H ₁ .

Примечания

Агентство по охране окружающей среды рекомендует использовать среднее гармоническое значение при установлении максимальных уровней токсинов в воде. ^[31]

В геофизических исследованиях по разработке месторождений широко используется среднее гармоническое значение. ^[32]

Смотрите также

• Математический портал

• Контрагармоническое среднее
• Обобщенное среднее
• Гармонический номер
• Оценить (математика)
• Средневзвешенное значение
• Параллельное суммирование
• Геометрическое среднее
• Средневзвешенное геометрическое
• Неравенства HM-GM-AM-QM
• Гармоническое среднее значение p

Примечания

1. Если AC = a и BC = b . OC = AM точек a и b , и радиус r = QO = OG.
   Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Используя подобные треугольники , ⁠ХК/ГК⁠ = ⁠ГК/ОК⁠ ∴ ХК = ⁠GC²/ОК⁠ = ГМ .

Ссылки

1. Курс архивирован 2022-07-11 в Wayback Machine
2. Weisstein, Eric W. "Harmonic Mean". mathworld.wolfram.com . Получено 31 мая 2023 г.
3. Да-Фэн Ся, Сен-Лин Сюй и Фэн Ци, «Доказательство неравенства среднего арифметического-среднего геометрического-среднего гармонического», Сборник исследовательских отчетов RGMIA, т. 2, № 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf Архивировано 22 декабря 2015 г. на Wayback Machine
4. * Статистический анализ , Я-лун Чжоу, Holt International, 1969, ISBN 0030730953 
5. Митчелл, Дуглас У., «Подробнее о спредах и неарифметических средних», The Mathematical Gazette 88, март 2004 г., 142–144.
6. Неравенства, предложенные в " Crux Mathematicorum " , "Архивная копия" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2014-10-15 . Получено 2014-09-09 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link).
7. Фергер Ф (1931) Природа и использование гармонического среднего. Журнал Американской статистической ассоциации 26(173) 36-40
8. "Среднее: как рассчитать среднее, формула, средневзвешенное". learningpundits.com . Архивировано из оригинала 29 декабря 2017 г. Получено 8 мая 2018 г.
9. "Эффективная масса в полупроводниках". ecee.colorado.edu . Архивировано из оригинала 20 октября 2017 г. Получено 8 мая 2018 г.
10. Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Эддисон Уэсли . стр. 168. ISBN 978-0805385663.
11. "Мнения о справедливости: распространенные ошибки и упущения". Справочник по оценке бизнеса и анализу интеллектуальной собственности . McGraw Hill. 2004. ISBN 0-07-142967-0.
12. Агравал, Панкадж; Боргман, Ричард; Кларк, Джон М.; Стронг, Роберт (2010). «Использование гармонического среднего отношения цены к прибыли для улучшения оценок стоимости фирмы». Журнал финансового образования . 36 (3–4): 98–110. ISSN  0093-3961. JSTOR  41948650. SSRN  2621087.
13. Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Сложные задачи по геометрии (второе издание). Dover. стр. 172. ISBN 0-486-69154-3.
14. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
15. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
16. Van Rijsbergen, CJ (1979). Information Retrieval (2-е изд.). Баттерворт. Архивировано из оригинала 2005-04-06.
17. Aitchison J, Brown JAC (1969). Логнормальное распределение с особым акцентом на его использование в экономике. Cambridge University Press, Нью-Йорк
18. Россман LA (1990) Проектирование потоков на основе гармонических средних. J Hydr Eng ASCE 116(7) 946–950
19. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. (1994) Непрерывные одномерные распределения. Том 1. Ряды Уайли в теории вероятностей и статистике.
20. Zelen M (1972) Смещение выборки по длине и биомедицинские проблемы. В: Встреча биометрического общества, Даллас, Техас
21. Lam FC (1985) Оценка дисперсии для гармонических средних периодов полураспада. J Pharm Sci 74(2) 229-231
22. Cox DR (1969) Некоторые проблемы выборки в технологии. В: Новые разработки в области выборки обследований. UL Johnson, H Smith eds. Нью-Йорк: Wiley Interscience
23. Давидов О, Зелен М (2001) Референтная выборка, семейный анамнез и относительный риск: роль выборки с учетом длины. Biostat 2(2): 173-181 doi :10.1093/biostatistics/2.2.173
24. Зелен М., Файнлейб М. (1969) О теории скрининга хронических заболеваний. Биометрика 56: 601-614
25. Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) Простой тест для обнаружения выборки со смещением по длине. J Biostats 1 (2) 189-195
26. Chuen-Teck See, Chen J (2008) Выпуклые функции случайных величин. J Inequal Pure Appl Math 9 (3) Art 80
27. Гурланд Дж (1967) Неравенство, удовлетворяемое ожиданием обратной величины случайной величины. Американский статистик. 21 (2) 24
28. Sung SH (2010) Об обратных моментах для класса неотрицательных случайных величин. J Inequal Applic doi :10.1155/2010/823767
29. Stedinger JR (1980) Подгонка логнормальных распределений к гидрологическим данным. Water Resour Res 16(3) 481–490
30. Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Оценка гармонического среднего логнормальной переменной. J Hydrol Eng 5(1) 59-66 "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2010-06-11 . Получено 2012-09-16 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
31. EPA (1991) Технический документ поддержки для контроля токсичности на основе качества воды. EPA/505/2-90-001. Управление водных ресурсов
32. Маскат М (1937) Течение однородных жидкостей через пористые среды. McGraw-Hill, Нью-Йорк

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Гармоническое среднее". MathWorld .
• Средние, арифметические и гармонические средние в cut-the-knot