Автоковариация

Концепция вероятности и статистики

В теории вероятностей и статистике , если задан стохастический процесс , автоковариация — это функция, которая дает ковариацию процесса с самим собой в парах временных точек. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.

Автоковариация стохастических процессов

Определение

При обычной записи оператора ожидания , если стохастический процесс имеет среднюю функцию , то автоковариация определяется как ^{[1] : стр. 162} ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

где и — два момента времени. ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

Определение слабо стационарного процесса

Если — слабо стационарный (WSS) процесс , то справедливо следующее: ^{[1] : стр. 163} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

и

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$для всех ${\displaystyle t}$

и

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

где — время запаздывания, или количество времени, на которое был смещен сигнал. ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

Автоковариационная функция процесса WSS, таким образом, определяется следующим образом: ^{[2] : стр. 517}

что эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Нормализация

В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) общепринятой практикой является нормализация функции автоковариации для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, в инженерии) нормализация обычно опускается, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются взаимозаменяемо.

Определение нормализованной автокорреляции стохастического процесса:

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Если функция четко определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а −1 указывает на идеальную антикорреляцию . ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Для процесса WSS определение следующее:

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

где

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Характеристики

Свойство симметрии

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : стр.169}

соответственно для процесса WSS:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : стр.173}

Линейная фильтрация

Автоковариация линейно отфильтрованного процесса ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

является

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Расчет турбулентной диффузии

Автоковариация может быть использована для расчета турбулентной диффузии . ^[4] Турбулентность в потоке может вызывать флуктуацию скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность через статистику этих флуктуаций ^{[ требуется ссылка ]} .

Разложение Рейнольдса используется для определения колебаний скорости (предположим, что мы сейчас работаем с одномерной задачей и — скорость вдоль направления): ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

где — истинная скорость, а — ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильное , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Чтобы определить , требуется набор измерений скорости, которые собираются из точек в пространстве, моментов времени или повторных экспериментов. ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

Если предположить, что турбулентный поток ( а c — концентрационный член) может быть вызван случайным блужданием, то можно использовать законы диффузии Фика, чтобы выразить турбулентный поток: ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ ${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

Автоковариация скорости определяется как

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$или ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

где — время запаздывания, — расстояние запаздывания. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r}$

Коэффициент турбулентной диффузии можно рассчитать, используя следующие 3 метода: ${\displaystyle D_{T_{x}}}$

1. Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте ^{[ необходима ссылка ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках ^{[ необходима ссылка ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   где — расстояние, разделяющее эти два фиксированных местоположения. ${\displaystyle r}$

Автоковариация случайных векторов

Смотрите также

• Авторегрессионный процесс
• Корреляция
• Кросс-ковариация
• Кросс-корреляция
• Оценка ковариации шума (как пример применения)

Ссылки

1. Hsu, Hwei (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
2. Лапидот, Амос (2009). Основы цифровой коммуникации . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5.
3. Kun Il Park, Основы теории вероятностей и стохастических процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Тейлор, GI (1922-01-01). "Диффузия непрерывными движениями" (PDF) . Труды Лондонского математического общества . s2-20 (1): 196–212. doi :10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN  1460-244X.

Дальнейшее чтение

• Hoel, PG (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Конспект лекций по автоковариации от WHOI