Средний уровень

Среднее арифметическое максимума и минимума

В статистике средний диапазон или средний крайний показатель — это мера центральной тенденции выборки , определяемая как среднее арифметическое максимального и минимального значений набора данных : ^[1]

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

Средний диапазон тесно связан с диапазоном — мерой статистической дисперсии , определяемой как разница между максимальным и минимальным значениями. Эти две меры дополняют друг друга в том смысле, что если знать средний диапазон и диапазон, можно найти максимальное и минимальное значения выборки.

Средний диапазон редко используется в практическом статистическом анализе, поскольку ему не хватает эффективности в качестве оценки для большинства представляющих интерес распределений , поскольку он игнорирует все промежуточные точки и ему не хватает устойчивости, поскольку выбросы существенно меняют его. Действительно, для многих распределений это одна из наименее эффективных и наименее надежных статистических данных. Однако в особых случаях он находит применение: это максимально эффективная оценка центра равномерного распределения, урезанная устойчивость адреса в среднем диапазоне, а как L-оценщик его легко понять и вычислить.

Надежность

Средний диапазон очень чувствителен к выбросам и игнорирует все точки данных, кроме двух. Таким образом, это очень ненадежная статистика , имеющая точку разбивки 0, что означает, что одно наблюдение может изменить ее произвольно. Кроме того, на него сильно влияют выбросы: увеличение максимума выборки или уменьшение минимума выборки на x изменяет средний диапазон всего на , а среднее значение выборки, которое также имеет точку излома 0, всего лишь на . практическая статистика, если выбросы уже не обработаны. ${\displaystyle x/2,}$ ${\displaystyle x/n.}$

Обрезанный средний диапазон известен какMidsummary –nпредставляетсобой среднее значениеn% и (100−n) % и является более надежным, имеяточку разбивкиn%. В середине из них находитсясредний шарнир, который составляет 25% среднего итога. Медиануурезанную(50%) среднюю величину; это соответствует соглашению, согласно которому медиана четного числа точек является средним значением двух средних точек.

Эти усеченные средние диапазоны также представляют интерес как описательная статистика или как L-оценка центрального местоположения или асимметрии : различия средних итогов, такие как средний шарнир минус медиана, дают показатели асимметрии в разных точках хвоста. ^[2]

Эффективность

Несмотря на свои недостатки, в некоторых случаях это полезно: средний диапазон является высокоэффективной оценкой μ при небольшой выборке достаточно платикуртического распределения, но он неэффективен для мезокуртических распределений, таких как нормальное.

Например, для непрерывного равномерного распределения с неизвестным максимумом и минимумом средний диапазон представляет собой несмещенную оценку равномерно минимальной дисперсии (UMVU) для среднего значения. Максимум и минимум выборки вместе с размером выборки являются достаточной статистикой для максимума и минимума генеральной совокупности – распределение других выборок, обусловленное заданными максимумом и минимумом, представляет собой просто равномерное распределение между максимумом и минимумом и, таким образом, добавляет нет информации. См. «Проблему немецких танков» для дальнейшего обсуждения. Таким образом, средний диапазон, который является объективной и достаточной оценкой среднего значения совокупности, на самом деле является UMVU: использование выборочного среднего просто добавляет шум, основанный на неинформативном распределении точек в этом диапазоне.

И наоборот, для нормального распределения выборочное среднее является оценкой среднего значения UMVU. Таким образом, для платикуртовых распределений, которые часто можно рассматривать как нечто среднее между равномерным и нормальным распределением, информативность средних точек выборки по сравнению со значениями экстремумов варьируется от «равной» для нормального распределения до «неинформативной» для равномерного и для разных распределений. , один или другой (или некоторая их комбинация) может быть наиболее эффективным. Надежным аналогом является тримен , который усредняет среднюю часть шарнира (средний диапазон обрезан на 25%) и медиану.

Небольшие образцы

Для небольших размеров выборки ( n от 4 до 20), полученных из достаточно платикуртного распределения (отрицательный эксцесс , определяемый как γ ₂ = (μ ₄ /(μ ₂ )²) − 3), средний диапазон является эффективной оценкой среднее значение μ . В следующей таблице суммированы эмпирические данные, сравнивающие три оценки среднего значения для распределений различного эксцесса; модифицированное среднее значение — это усеченное среднее значение , в котором исключены максимум и минимум. ^{[3] [4]}

При n = 1 или 2 средний диапазон и среднее значение равны (и совпадают с медианой) и наиболее эффективны для всех распределений. Для n = 3 модифицированное среднее значение является медианой, а вместо этого среднее значение является наиболее эффективной мерой центральной тенденции для значений γ ₂ от 2,0 до 6,0, а также от -0,8 до 2,0.

Выборка свойств

Для выборки размера n из стандартного нормального распределения средний диапазон M является несмещенным и имеет дисперсию, определяемую следующим образом: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

Для выборки размера n из стандартного распределения Лапласа средний диапазон M является несмещенным и имеет дисперсию, определяемую следующим образом: ^[6]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

и, в частности, дисперсия не уменьшается до нуля по мере увеличения размера выборки.

Для выборки размера n из равномерного распределения с нулевым центром среднее значение M несмещено, nM имеет асимптотическое распределение , которое является распределением Лапласа . ^[7]

Отклонение

В то время как среднее значение набора значений минимизирует сумму квадратов отклонений , а медиана минимизирует среднее абсолютное отклонение , средний диапазон минимизирует максимальное отклонение (определяемое как ): это решение вариационной проблемы . ${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$

Смотрите также

• Диапазон (статистика)
• Мидхиндж

Рекомендации

1. Додж 2003.
2. Веллеман и Хоглин 1981.
3. Винсон, Уильям Дэниел (1951). Исследование мер центральной тенденции, используемых в контроле качества (магистр). Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Таблица (4.1), стр. 32–34.
4. Кауден, Дадли Джонстон (1957). Статистические методы в контроле качества . Прентис-Холл. стр. 67–68.
5. Кендалл и Стюарт 1969, пример 14.4.
6. Кендалл и Стюарт 1969, пример 14.5.
7. Кендалл и Стюарт 1969, пример 14.12.

• Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-920613-9.
• Кендалл, Миннесота; Стюарт, А. (1969). Передовая теория статистики, Том 1 . Грифон. ISBN 0-85264-141-9.
• Веллеман, П.Ф.; Хоглин, округ Колумбия (1981). Приложения, основы и вычисления исследовательского анализа данных . ISBN 0-87150-409-Х.