Стандартизированный момент

Нормализованные центральные моменты

В теории вероятностей и статистике стандартизированный момент распределения вероятностей — это момент (часто центральный момент более высокой степени ), который нормализуется, как правило, по степени стандартного отклонения , что делает шкалу моментов инвариантной . Форму различных распределений вероятностей можно сравнивать, используя стандартизированные моменты . ^[1]

Стандартная нормализация

Пусть X будет случайной величиной с распределением вероятностей P и средним значением (т.е. первым исходным моментом или моментом около нуля ) , оператор E обозначает ожидаемое значение X. Тогда стандартизированный момент степени k равен ^[2] , т. е. отношению k -го момента к среднему значению ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ ${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}P(x)\,dx,}$

в k- й степени стандартного отклонения ,

${\displaystyle \sigma ^{k}=\mu _{2}^{k/2}=\left({\sqrt {\mathrm {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}\right)^{k}.}$

Степень k связана с тем, что моменты масштабируются, что означает, что они являются однородными функциями степени k , поэтому стандартизованный момент масштабно-инвариантен . Это также можно понимать так: моменты имеют размерность; в приведенном выше соотношении, определяющем стандартизированные моменты, размеры сокращаются, поэтому они являются безразмерными числами . ${\displaystyle x^{k},}$ ${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X):}$

Первые четыре стандартизированных момента можно записать как:

Для асимметрии и эксцесса существуют альтернативные определения, основанные на третьем и четвертом кумулянте соответственно.

Другие нормализации

Другой масштабно-инвариантной безразмерной мерой характеристик распределения является коэффициент вариации , . Однако это не стандартизированный момент, во-первых, потому что он обратен, а во-вторых, потому что это первый момент около нуля (среднего значения), а не первый момент около среднего значения (которое равно нулю). ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\mu }}}$ ${\displaystyle \mu }$

Дополнительные коэффициенты нормализации см. в разделе «Нормализация (статистика)» .

Смотрите также

• Коэффициент вариации
• Момент (математика)
• Центральный момент
• Стандартная оценка § Другие нормализации

Рекомендации

1. Рэмси, Джеймс Бернард; Ньютон, Х. Джозеф; Харвилл, Джейн Л. (1 января 2002 г.). «ГЛАВА 4 МОМЕНТЫ И ФОРМА ГИСТОГРАММ». Элементы статистики: с приложениями к экономике и социальным наукам. Даксбери/Томсон Обучение. п. 96. ИСБН 9780534371111.
2. В., Вайсштейн, Эрик. «Стандартизированный момент». mathworld.wolfram.com . Проверено 30 марта 2016 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)