Стандартная функция детали

Функция от ограниченных гиперреальных к действительным числам

В нестандартном анализе стандартная функция части — это функция от ограниченных (конечных) гипердействительных чисел до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное до ближайшего действительного. Она сопоставляет каждому такому гипердействительному единственное действительное число, бесконечно близкое к нему, т.е. бесконечно малое . Таким образом, она является математической реализацией исторической концепции равенства, введенной Пьером де Ферма ^[1] , а также трансцендентального закона однородности Лейбница . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$

Функция стандартной части была впервые определена Абрахамом Робинсоном , который использовал обозначение для стандартной части гиперреального числа (см. Robinson 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении концепций исчисления, таких как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе . Последняя теория является строгой формализацией вычислений с бесконечно малыми . Стандартная часть x иногда называется его тенью . ^[2] ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ ${\displaystyle x}$

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа. «Бесконечно малый микроскоп» используется для просмотра бесконечно малой окрестности стандартного действительного числа.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреальные числа являются упорядоченным расширением поля реальных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к реальным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой , или гало ) гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Стандартная функция части сопоставляет конечному гиперреальному x , уникальное стандартное действительное число x ₀ , которое бесконечно близко к нему. Связь выражается символически записью ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

Стандартная часть любой бесконечно малой величины равна 0. Таким образом, если N — бесконечное гипернатуральное число , то 1/ N — бесконечно малое число, и st(1/ N ) = 0.

Если гиперреальное представлено последовательностью Коши в ультрастепенной конструкции, то ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

В более общем случае каждое конечное множество определяет сечение Дедекинда на подмножестве (через полный порядок на ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

Не внутренний

Стандартная часть функции "st" не определяется внутренним множеством . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самый простой заключается в том, что ее область определения L, которая является набором ограниченных (т. е. конечных) гиперреальных чисел, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничено (например, любым бесконечным гиперестественным числом), L должно было бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L было внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. С другой стороны, диапазон "st" равен , который не является внутренним; на самом деле каждое внутреннее множество в , которое является подмножеством , обязательно конечно . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приложения

Все традиционные понятия исчисления можно выразить через стандартную частичную функцию следующим образом.

Производный

Стандартная часть функции используется для определения производной функции f . Если f — действительная функция, а h — бесконечно малая, и если f ′( x ) существует, то

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

В качестве альтернативы, если , берется бесконечно малое приращение и вычисляется соответствующее . Формируется отношение . Затем производная определяется как стандартная часть отношения: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

Интеграл

Если задана функция на , то интеграл определяется как стандартная часть бесконечной суммы Римана , когда значение берется бесконечно малым, используя гиперконечное разбиение интервала [ a , b ]. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Предел

Если задана последовательность , ее предел определяется как , где — бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть остается той же независимо от выбранного бесконечного индекса. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

Непрерывность

Действительная функция непрерывна в действительной точке тогда и только тогда , когда композиция постоянна на гало . Подробнее см. микронепрерывность . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Равенство
• Нестандартное исчисление

Ссылки

1. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (март 2012 г.). «Бёрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Foundations of Science . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi :10.1007/s10699-011-9223-1 Авторы ссылаются на стандартную часть Ферма-Робинсона.{{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
2. Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Frederik; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Michael G.; Nowik, Tahl; Sherry, David; Shnider, Steven (1 сентября 2014 г.). "Fermat, Leibniz, Euler, and the Gang: The True History of the Concepts of Limit and Shadow" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 61 (08): 848. doi :10.1090/noti1149.
3. Голдблатт, Роберт (1998). Лекции о гиперреальных: Введение в нестандартный анализ. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-98464-3.

Дальнейшее чтение

• H. Jerome Keisler . Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . Первое издание 1976; 2-е издание 1986. (Эта книга в настоящее время не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Авраам Робинсон . Нестандартный анализ. Перепечатка второго (1974) издания. С предисловием Вильгельмуса А. Дж. Люксембурга . Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 стр. ISBN 0-691-04490-2