Стандартная основа

Векторы, все компоненты которых равны 0, кроме одного, равного 1.

Каждый вектор a в трех измерениях представляет собой линейную комбинацию стандартных базисных векторов i , j и k .

В математике стандартный базис (также называемый естественным базисом или каноническим базисом ) координатного векторного пространства (например, или ) представляет собой набор векторов, каждый из компонентов которого равен нулю, кроме одного, равного 1. ^[1] Например, В случае евклидовой плоскости , образованной парами ( x , y ) действительных чисел , стандартный базис формируется векторами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$

Аналогично, стандартная основа трехмерного пространства формируется векторами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$

Здесь вектор e _x указывает в направлении x , вектор e _y указывает в направлении y , а вектор e _z указывает в направлении z . Существует несколько общих обозначений для векторов стандартного базиса, включая { e _x ,  e _y ,  e _z }, { e ₁ ,  e ₂ ,  e ₃ }, { i ,  j ,  k } и { x ,  y ,  z } . Эти векторы иногда пишут в шляпе , чтобы подчеркнуть их статус как единичных векторов ( стандартных единичных векторов ).

Эти векторы являются базисом в том смысле, что любой другой вектор может быть однозначно выражен как их линейная комбинация . ^[2] Например, каждый вектор v в трехмерном пространстве можно однозначно записать как

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$

скаляры , ,  являющиеся  скалярными компонентами вектора v . ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$

В n - мерном евклидовом пространстве стандартный базис состоит из n различных векторов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$

где e _i обозначает вектор с 1 в i-й координате и 0 в остальных местах.

Стандартные базы могут быть определены для других векторных пространств , определение которых включает в себя коэффициенты , такие как полиномы и матрицы . В обоих случаях стандартный базис состоит из таких элементов пространства, что все коэффициенты, кроме одного, равны 0, а ненулевой равен 1. Таким образом, для многочленов стандартный базис состоит из мономов и обычно называется мономиальным базисом . Для матриц стандартный базис состоит из m × n -матриц ровно с одной ненулевой записью, равной 1. Например, стандартный базис для матриц 2 × 2 формируется из 4 матриц ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Характеристики

По определению, стандартный базис — это последовательность ортогональных единичных векторов . Другими словами, это упорядоченный и ортонормированный базис.

Однако упорядоченный ортонормированный базис не обязательно является стандартным. Например, два вектора, представляющие поворот на 30° стандартного двумерного базиса, описанного выше, т.е.

${\displaystyle v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,}$

${\displaystyle v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,}$

также являются ортогональными единичными векторами, но они не совпадают с осями декартовой системы координат , поэтому базис с этими векторами не соответствует определению стандартного базиса.

Обобщения

Существует также стандартная основа для кольца многочленов от n неопределенных над полем , а именно мономы .

Все вышеперечисленное является частным случаем индексированного семейства.

${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$

где – любое множество, а – дельта Кронекера , равная нулю, когда i ≠ j, и равна 1, если i = j . Это семейство является канонической базой R -модуля ( свободного модуля ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle R^{(I)}}$

из всех семей

${\displaystyle f=(f_{i})}$

из I в кольцо R , которые равны нулю , за исключением конечного числа индексов , если мы интерпретируем 1 как 1 _R , единицу в R. ^[3]

Другое использование

Существование других «стандартных» базисов стало предметом интереса в алгебраической геометрии , начиная с работы Ходжа 1943 года о грассманианах . Теперь это часть теории представлений , называемая стандартной мономиальной теорией . Идея стандартного базиса в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли устанавливается теоремой Пуанкаре–Биркгофа–Витта .

Базисы Грёбнера также иногда называют стандартными базисами.

В физике стандартные базисные векторы для данного евклидова пространства иногда называют версорами осей соответствующей декартовой системы координат.

Смотрите также

• Канонические единицы
• Примеры векторных пространств § Обобщенное координатное пространство

Цитаты

1. Роман 2008, с. 47, гл. 1.
2. Экслер (2015) с. 39-40, §2.29
3. Роман 2008, с. 131, гл. 5.

Рекомендации

• Экслер, Шелдон (2015) [18 декабря 2014 г.]. Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (Третье изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-72828-5.(стр. 47)

• Райан, Патрик Дж. (2000). Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход . Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-27635-7.(стр. 198)

• Шнайдер, Филип Дж.; Эберли, Дэвид Х. (2003). Геометрические инструменты для компьютерной графики . Амстердам; Бостон: Издательство Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-594-0.(стр. 112)