Стандартная функция детали

Функция от ограниченных гиперреальных к действительным числам

В нестандартном анализе стандартная функция части — это функция от ограниченных (конечных) гипердействительных чисел до действительных чисел. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное число до ближайшего действительного. Она сопоставляет каждому такому гипердействительному единственное действительное число, бесконечно близкое к нему, т. е. бесконечно малое . Таким образом, она является математической реализацией исторической концепции равенства, введенной Пьером де Ферма ^[1] , а также трансцендентального закона однородности Лейбница . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$

Функция стандартной части была впервые определена Абрахамом Робинсоном , который использовал обозначение для стандартной части гиперреального числа (см. Robinson 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении концепций исчисления, таких как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе . Последняя теория является строгой формализацией вычислений с бесконечно малыми . Стандартная часть x иногда называется его тенью . ^[2] ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ ${\displaystyle x}$

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа. «Бесконечно малый микроскоп» используется для просмотра бесконечно малой окрестности стандартного действительного числа.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой , где гиперреальные числа являются упорядоченным расширением поля реальных чисел и содержат бесконечно малые числа в дополнение к реальным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число имеет набор чисел (называемый монадой , или гало ) гиперреальных чисел, бесконечно близких к нему. Стандартная часть функции сопоставляет конечному гиперреальному x , единственное стандартное действительное число x ₀ , которое бесконечно близко к нему. Связь выражается символически записью ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

Стандартная часть любой бесконечно малой величины равна 0. Таким образом, если N — бесконечное гипернатуральное число , то 1/ N — бесконечно малое число, и st(1/ N ) = 0.

Если гиперреальное представлено последовательностью Коши в ультрастепенной конструкции, то ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

В более общем смысле, каждое конечное множество определяет сечение Дедекинда на подмножестве (через общий порядок на ), а соответствующее действительное число является стандартной частью u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

Не внутренний

Стандартная часть функции "st" не определяется внутренним множеством . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самый простой заключается в том, что ее область определения L, которая является набором ограниченных (т. е. конечных) гиперреальных чисел, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничено (например, любым бесконечным гиперестественным числом), L должно было бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L было внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. С другой стороны, диапазон "st" равен , который не является внутренним; на самом деле каждое внутреннее множество в , которое является подмножеством , обязательно конечно . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приложения

Все традиционные понятия исчисления можно выразить через стандартную частичную функцию следующим образом.

Производный

Стандартная часть функции используется для определения производной функции f . Если f — действительная функция, а h — бесконечно малая, и если f ′( x ) существует, то

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

В качестве альтернативы, если , берется бесконечно малое приращение и вычисляется соответствующее . Формируется отношение . Затем производная определяется как стандартная часть отношения: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

Интеграл

Если задана функция на , то интеграл определяется как стандартная часть бесконечной суммы Римана , когда значение берется бесконечно малым, используя гиперконечное разбиение интервала [ a , b ]. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Предел

Если задана последовательность , ее предел определяется как , где — бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть остается той же независимо от выбранного бесконечного индекса. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

Непрерывность

Действительная функция непрерывна в действительной точке тогда и только тогда , когда композиция постоянна на гало . Подробнее см. микронепрерывность . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Равенство
• Нестандартное исчисление

Ссылки

1. Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (март 2012 г.). «Бёрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Foundations of Science . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi :10.1007/s10699-011-9223-1 Авторы ссылаются на стандартную часть Ферма-Робинсона.{{cite journal}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
2. Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Frederik; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Michael G.; Nowik, Tahl; Sherry, David; Shnider, Steven (1 сентября 2014 г.). "Fermat, Leibniz, Euler, and the Gang: The True History of the Concepts of Limit and Shadow" (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 61 (08): 848. doi :10.1090/noti1149.
3. Голдблатт, Роберт (1998). Лекции о гиперреальных: Введение в нестандартный анализ. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-98464-3.

Дальнейшее чтение

• H. Jerome Keisler . Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . Первое издание 1976; 2-е издание 1986. (Эта книга в настоящее время не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Авраам Робинсон . Нестандартный анализ. Перепечатка второго (1974) издания. С предисловием Вильгельмуса А. Дж. Люксембурга . Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx+293 стр. ISBN 0-691-04490-2