97,5-й процентиль

Число, полезное в статистике для анализа нормальной кривой

95% площади нормального распределения находится в пределах 1,96 стандартных отклонений от среднего значения.

В теории вероятности и статистики 97,5-я процентильная точка стандартного нормального распределения — это число, обычно используемое для статистических расчетов. Приблизительное значение этого числа равно 1,96 , что означает, что 95% площади под нормальной кривой лежит в пределах приблизительно 1,96 стандартных отклонений от среднего значения . Из-за центральной предельной теоремы это число используется при построении приблизительных 95% доверительных интервалов . Его повсеместное распространение обусловлено произвольным, но общим соглашением об использовании доверительных интервалов с 95% вероятностью в науке и частотной статистике, хотя иногда используются и другие вероятности (90%, 99% и т. д.). ^{[1] [2] [3] [4]} Это соглашение, по-видимому, особенно распространено в медицинской статистике, ^{[5] [6] [7]} , но также распространено в других областях применения, таких как науки о Земле, ^[8] социальные науки и бизнес-исследования. ^[9]

Единого общепринятого названия для этого числа не существует; его также обычно называют «стандартным нормальным отклонением », « нормальным баллом » или « Z-баллом » для точки 97,5 процентиля, точки 0,975 или просто ее приблизительного значения 1,96.

Если X имеет стандартное нормальное распределение, т.е. X ~ N(0,1),

${\displaystyle \mathrm {P} (X>1.96)\approx 0.025,\,}$

${\displaystyle \mathrm {P} (X<1.96)\approx 0.975,\,}$

и поскольку нормальное распределение симметрично,

${\displaystyle \mathrm {P} (-1.96<X<1.96)\approx 0.95.\,}$

Одной из записей для этого числа является z _.975 . ^[10] Из функции плотности вероятности стандартного нормального распределения точное значение z _.975 определяется как

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-z_{.975}}^{z_{.975}}e^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=0.975.}$

История

Рональд Фишер

Использование этого числа в прикладной статистике можно проследить под влиянием классического учебника Рональда Фишера « Статистические методы для научных работников» , впервые опубликованного в 1925 году:

«Значение, для которого P = 0,05, или 1 из 20, равно 1,96 или почти 2; удобно принять эту точку за предел при оценке того, следует ли считать отклонение значимым или нет». ^[11]

В Таблице 1 той же работы он дал более точное значение 1,959964. ^[12] В 1970 году значение, усеченное до 20 знаков после запятой, было рассчитано как

1,95996 39845 40054 23552... ^{[13] [14]}

Таким образом, обычно используемое приблизительное значение 1,96 имеет точность, превышающую одну 50 000-ю часть, что более чем достаточно для прикладной работы.

Некоторые люди даже используют значение 2 вместо 1,96, сообщая о 95,4% доверительном интервале как о 95% доверительном интервале. Это не рекомендуется, но иногда встречается. ^[15]

Функции программного обеспечения

Обратное значение стандартной нормальной функции CDF может быть использовано для вычисления значения. Ниже приведена таблица вызовов функций, которые возвращают 1,96 в некоторых часто используемых приложениях:

Смотрите также

• Допустимая погрешность
• Пробит
• Диапазон значений
• Стандартная ошибка (статистика)
• Правило 68–95–99.7

Ссылки

1. Риз, Д.Г. (1987), Основы статистики , CRC Press, стр. 246, ISBN 0-412-28560-6, Почему 95% достоверности? Почему не какой-то другой уровень достоверности ? Использование 95% отчасти условно, но также используются такие уровни, как 90%, 98% и иногда 99,9%.
2. "Справочник по инженерной статистике: доверительные пределы для среднего". Национальный институт стандартов и технологий. Архивировано из оригинала 5 февраля 2008 г. Получено 4 февраля 2008 г. Хотя выбор коэффициента доверия несколько произволен, на практике часто используются интервалы 90%, 95% и 99%, причем наиболее распространенным является 95%.
3. Олсон, Эрик Т.; Олсон, Тэмми Перри (2000), Реальная математика: Статистика, Walch Publishing, стр. 66, ISBN 0-8251-3863-9Хотя могут быть выбраны и другие, более строгие или менее строгие пределы, статистики очень часто отдают предпочтение 95-процентному интервалу.
4. Swift, MB (2009). "Сравнение доверительных интервалов для пуассоновского среднего – дополнительные соображения". Communications in Statistics – Theory and Methods . 38 (5): 748–759. doi :10.1080/03610920802255856. S2CID  120748700. В современной прикладной практике почти все доверительные интервалы указываются на уровне 95%.
5. Саймон, Стив (2002), Почему 95% доверительные пределы?, архивировано из оригинала 28 января 2008 г. , извлечено 1 февраля 2008 г.
6. Moher, D; Schulz, KF; Altman, DG (2001), «Заявление CONSORT: пересмотренные рекомендации по улучшению качества отчетов о рандомизированных испытаниях в параллельных группах», Lancet , 357 (9263): 1191–1194, doi : 10.1016/S0140-6736(00)04337-3 , PMID  11323066, S2CID  52871971 , получено 4 февраля 2008 г.
7. "Ресурсы для авторов: Исследования". BMJ Publishing Group Ltd. Архивировано из оригинала 18 июля 2009 г. Получено 4 февраля 2008 г. Для стандартных оригинальных исследовательских статей предоставьте следующие заголовки и информацию: [...] результаты – основные результаты с (для количественных исследований) 95% доверительными интервалами и, где это уместно, точный уровень статистической значимости и количество, которое необходимо лечить/наносить вред
8. Боррадейл, Грэм Дж. (2003), Статистика данных наук о Земле , Springer, стр. 79, ISBN 3-540-43603-0Для простоты мы принимаем общепринятое в науках о Земле соглашение о 95% доверительном интервале.
9. Кук, Сара (2004), Измерение эффективности обслуживания клиентов , Gower Publishing, стр. 24, ISBN 0-566-08538-0, Большинство исследователей используют 95-процентный доверительный интервал
10. Гослинг, Дж. (1995), Вводная статистика , Pascal Press, стр. 78–9, ISBN 1-86441-015-9
11. Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, стр. 47, ISBN 0-05-002170-2
12. Фишер, Рональд (1925), Статистические методы для научных работников , Эдинбург: Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002170-2, Таблица 1
13. Уайт, Джон С. (июнь 1970 г.), «Таблицы нормальных процентильных точек», Журнал Американской статистической ассоциации , 65 (330), Американская статистическая ассоциация: 635–638, doi : 10.2307/2284575, JSTOR  2284575
14. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A220510". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
15. "Оценка среднего значения популяции с использованием интервалов". stat.wmich.edu . Лаборатория статистических вычислений. Архивировано из оригинала 4 июля 2018 г. Получено 7 августа 2018 г.
16. InverseCDF, Центр документации Wolfram Language.
17. NormalDistribution, Центр документации Wolfram Language.

Дальнейшее чтение

• Гарднер, Мартин Дж.; Альтман, Дуглас Г. , ред. (1989), Статистика с уверенностью, BMJ Books, ISBN 978-0-7279-0222-1