В статике и строительной механике конструкция статически неопределима , когда уравнения равновесия – условия равновесия сил и моментов – недостаточны для определения внутренних сил и реакций на этой конструкции. [1] [2]
На основе законов движения Ньютона уравнения равновесия для двумерного тела следующие: [2]
В конструкции балки справа четыре неизвестные реакции — это V A , V B , V C и H A . Уравнения равновесия следующие: [2]
Поскольку имеются четыре неизвестные силы (или переменные ) ( VA , VB , VC иHA ) , но только три уравнения равновесия, эта система одновременных уравнений не имеет единственного решения. Поэтому конструкция классифицируется как статически неопределимая .
Для решения статически неопределимых систем (определения различных моментов и силовых реакций в них) учитывают свойства материалов и их совместимость при деформациях .
Если опора в точке B удалена, реакция V B не может возникнуть, и система становится статически определенной (или изостатической ). [3] Обратите внимание, что система здесь полностью ограничена . Система становится точной ограниченной кинематической связью . Решение задачи: [2]
Если, кроме того, опора в точке A меняется на роликовую опору, число реакций уменьшается до трех (без H A ), но балку теперь можно перемещать горизонтально; система становится неустойчивой или частично связанной — механизм , а не структура. Чтобы отличить это от ситуации, когда система, находящаяся в равновесии, возмущена и становится неустойчивой, здесь предпочтительнее использовать фразу частично связанная . В этом случае два неизвестных V A и V C могут быть определены путем одновременного решения уравнения вертикальной силы и уравнения момента. Решение дает те же результаты, что и полученные ранее. Однако невозможно удовлетворить уравнение горизонтальной силы, если F h = 0 . [2]
Описательно статически определимую конструкцию можно определить как конструкцию, в которой, если возможно найти внутренние действия в равновесии с внешними нагрузками, эти внутренние действия являются уникальными. Конструкция не имеет возможных состояний самонапряжения, т. е. внутренние силы в равновесии с нулевыми внешними нагрузками невозможны. Статическая неопределенность, однако, заключается в существовании нетривиального (ненулевого) решения однородной системы уравнений равновесия. Она указывает на возможность самонапряжения (напряжения при отсутствии внешней нагрузки), которое может быть вызвано механическим или термическим воздействием.
Математически это требует, чтобы матрица жесткости имела полный ранг.
Статически неопределенная структура может быть проанализирована только путем включения дополнительной информации, такой как свойства материалов и прогибы. Численно это может быть достигнуто с помощью матричного структурного анализа, метода конечных элементов (FEM) или метода распределения моментов ( Hardy Cross ).
На практике конструкция называется «статически переопределенной», когда она включает в себя больше механических ограничений (например, стен, колонн или болтов), чем это абсолютно необходимо для обеспечения устойчивости.
