Статическое пространство-время

Пространство-время, которое не меняется со временем и является безвихревым

В общей теории относительности пространство -время называется статическим , если оно не изменяется со временем и является безвихревым. Это особый случай стационарного пространства-времени , которое является геометрией стационарного пространства-времени, которое не изменяется со временем, но может вращаться. Таким образом, решение Керра представляет собой пример стационарного пространства-времени, которое не является статическим; невращающееся решение Шварцшильда является примером, которое является статическим.

Формально, пространство-время является статичным, если оно допускает глобальное, неисчезающее, времениподобное векторное поле Киллинга , которое является безвихревым , т.е. , ортогональное распределение которого является инволютивным . (Обратите внимание, что листы ассоциированного слоения обязательно являются пространственноподобными гиперповерхностями .) Таким образом, статическое пространство-время является стационарным пространством-временем, удовлетворяющим этому дополнительному условию интегрируемости. Эти пространства-времена образуют один из простейших классов лоренцевских многообразий . ${\displaystyle K}$

Локально каждое статическое пространство-время выглядит как стандартное статическое пространство-время , которое является лоренцевским искривленным произведением R S с метрикой вида ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle g[(t,x)]=-\beta (x)dt^{2}+g_{S}[x]}$,

где R — вещественная прямая, — (положительно определенная) метрика и — положительная функция на римановом многообразии S. ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle \beta }$

В таком локальном координатном представлении поле Киллинга можно отождествить с и S , многообразие - траекторий , можно рассматривать как мгновенное 3-пространство стационарных наблюдателей. Если - квадрат нормы векторного поля Киллинга, , то и то и другое не зависят от времени (фактически ). Именно из последнего факта статическое пространство-время получило свое название, поскольку геометрия пространственно-подобного среза S не меняется со временем. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g(K,K)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle \lambda =-\beta (x)}$

Примеры статического пространства-времени

• (Внешнее) решение Шварцшильда .
• Пространство Де Ситтера (его часть, покрытая статическим патчем ).
• Пространство Рейсснера–Нордстрема .
• Решение Вейля — статическое осесимметричное решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна, открытое Германом Вейлем . ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$

Примеры нестатичного пространства-времени

В общем, "почти все" пространства-времена не будут статичными. Некоторые явные примеры включают:

• Сферически симметричное пространство-время , которое является безвихревым, но не статичным.
• Решение Керра , поскольку оно описывает вращающуюся черную дыру, представляет собой стационарное пространство-время, которое не является статичным.
• Пространство-время с гравитационными волнами в нем даже не является стационарным.

Ссылки

• Хокинг, SW; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембриджские монографии по математической физике, т. 1, Лондон-Нью-Йорк: Cambridge University Press, MR  0424186