Стационарное пространство-время

Пространство-время, допускающее вектор Киллинга, асимптотически времениподобный.

В общей теории относительности , особенно в уравнениях поля Эйнштейна , пространство-время называется стационарным , если оно допускает вектор Киллинга , который асимптотически времениподобен . ^[1]

Описание и анализ

В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора могут быть выбраны так, чтобы все они не зависели от временной координаты. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

где – временная координата, – три пространственные координаты, – метрический тензор трехмерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга имеет компоненты . является положительным скаляром, представляющим норму вектора Киллинга, т. е. и является 3-вектором, называемым вектором скручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последнее возникает как пространственные компоненты твист-4-вектора (см., например, ^[2] , с. 163), ортогонального вектору Киллинга , т. е. удовлетворяющего . Вектор скручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не может быть ортогональным семейству трех поверхностей. Ненулевой поворот указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$

Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию. ^[3] Вектор Киллинга перевода времени генерирует однопараметрическую группу движения в пространстве-времени . Путем идентификации точек пространства-времени, которые лежат на определенной траектории (также называемой орбитой), можно получить трехмерное пространство (многообразие траекторий Киллинга) , фактор-пространство. Каждая точка представляет собой траекторию в пространстве-времени . Эта идентификация, называемая канонической проекцией, представляет собой отображение, которое отправляет каждую траекторию в точку и вызывает метрику посредством обратного преобразования. Величины , и все поля включены и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется во времени. В частном случае пространство-время называется статичным . По определению, каждое статическое пространство-время стационарно, но обратное, как правило, неверно, поскольку метрика Керра представляет собой контрпример. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V=M/G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{i}=0}$

Используйте в качестве отправной точки для уравнений вакуумного поля.

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна вне источников, твист-4-вектор не имеет ротора, ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

и, следовательно, локально является градиентом скаляра (называемого скаляром скручивания): ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

Вместо скаляров и удобнее использовать два потенциала Хансена, потенциалы массы и момента количества движения, и , определяемые как ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

В общей теории относительности потенциал массы играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Для вращающихся источников возникает нетривиальный потенциал углового момента за счет вращательной кинетической энергии, которая из-за эквивалентности массы и энергии может также выступать в качестве источника гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, в котором имеется два набора потенциалов: электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники создают гравитомагнитное поле , не имеющее ньютоновского аналога. ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

Таким образом, стационарная вакуумная метрика выражается через потенциалы Хансена ( , ) и 3-метрику . В терминах этих величин уравнения вакуумного поля Эйнштейна можно записать в виде ^[4] ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A=M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

где , и – тензор Риччи пространственной метрики и соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения составляют отправную точку для исследования точных показателей стационарного вакуума. ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$ ${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$ ${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время

Рекомендации

1. Людвигсен, М., Общая теория относительности: геометрический подход, издательство Кембриджского университета, 1999 ISBN  052163976X
2. Уолд, РМ, (1984). Общая теория относительности (U. Chicago Press)
3. Герох, Р., (1971). Дж. Математика. Физ. 12, 918
4. Хансен, RO (1974). Дж. Математика. Физ. 15, 46.