Стебель (пучок)

Математическая конструкция

В математике стебель снопа — это математическая конструкция , фиксирующая поведение снопа вокруг заданной точки.

Мотивация и определение

Пучки определены на открытых множествах , но лежащее в их основе топологическое пространство состоит из точек. Разумно попытаться изолировать поведение пучка в одной фиксированной точке . Концептуально говоря, мы делаем это, рассматривая небольшие окрестности точки. Если мы посмотрим на достаточно малую окрестность , поведение пучка в этой маленькой окрестности должно быть таким же, как и поведение пучка в этой точке. Конечно, ни одна из окрестностей не будет достаточно маленькой, поэтому нам придется принять какой-то предел. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Точное определение следующее: стебель at , обычно обозначаемый , это: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U).}$

Здесь прямой предел индексируется по всем открытым множествам, содержащим , с отношением порядка, индуцированным обратным включением ( , if ). По определению (или универсальному свойству ) прямого предела элементом стебля является класс эквивалентности элементов , где два таких сечения и считаются эквивалентными , если ограничения двух участков совпадают в некоторой окрестности . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\leq V}$ ${\displaystyle U\supseteq V}$ ${\displaystyle f_{U}\in {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle f_{V}}$ ${\displaystyle x}$

Альтернативное определение

Существует еще один подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку , и пусть будет включение одноточечного пространства в . Тогда стебель будет таким же, как и перевернутый сноп . Обратите внимание, что единственными открытыми множествами одноточечного пространства являются и , а в пустом множестве нет данных. Однако свыше мы получаем: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})=\varinjlim _{U\supseteq \{x\}}{\mathcal {F}}(U)=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U)={\mathcal {F}}_{x}.}$

Примечания

Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения стебля, может не существовать. Однако он существует для большинства категорий, встречающихся на практике, таких как категории множеств или большинства категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или кольца , которые именно являются кополными .

Для любого открытого множества, содержащего , существует естественный морфизм : оно переводит сечение в его росток , т. е. его класс эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия о ростке , которое можно восстановить, рассматривая стебли пучка непрерывных функций на . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle X}$

Примеры

Постоянные шкивы

Постоянный пучок , ассоциированный с некоторым набором , (или группой, кольцом и т. д.), является пучком, для которого для всех в . ${\displaystyle {\underline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\underline {S}}_{x}=S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Пучки аналитических функций

Например, в пучке аналитических функций на аналитическом многообразии росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это связано с тем, что росток записывает разложение функции в степенной ряд , а все аналитические функции по определению локально равны своему степенному ряду. Используя аналитическое продолжение , находим, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничений этого пучка инъективны!)

Пучки гладких функций

Напротив, для пучка гладких функций на гладком многообразии ростки содержат некоторую локальную информацию, но ее недостаточно для восстановления функции в любой открытой окрестности. Например, пусть это функция рельефа , которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, она тождественно единица, поэтому в начале координат она имеет тот же росток, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим восстановить ее по ее ростку. Даже если мы заранее знаем, что это функция выступа, микроб не сообщает нам, насколько велик его выступ. Судя по тому, что говорит нам росток, выступ может быть бесконечно широким, то есть может равняться постоянной функции со значением 1. Мы не можем даже провести реконструкцию на небольшой открытой окрестности, содержащей начало координат, потому что мы не можем сказать, вписывается ли выступ полностью в или он настолько велик, что тождественен единице в . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию , поскольку последняя функция не является тождественно единой ни в одной окрестности начала координат. Этот пример показывает, что микробы содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, поскольку степенной ряд тождественно единице. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стебель пучка гладких функций в начале координат является ненетеровым кольцом . Теорема Крулля о пересечении говорит, что этого не может произойти для нетерово кольца.) ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$ ${\displaystyle 1+e^{-1/x^{2}}}$

Квазикогерентные пучки

В аффинной схеме слой квазикогерентного пучка, соответствующий -модулю в точке, соответствующей простому идеалу, есть не что иное, как локализация . ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M_{p}}$

Сноп небоскреба

В любом топологическом пространстве пучок небоскребов , связанный с замкнутой точкой и группой или кольцом, имеет стебли то в сторону , то в сторону — отсюда и название небоскреб . Эта идея имеет больше смысла, если принять общепринятую визуализацию отображения функций из некоторого пространства выше в пространство ниже; с помощью этой визуализации любая отображаемая функция располагается непосредственно над . То же самое свойство справедливо для любой точки, если рассматриваемое топологическое пространство является пространством T 1 , поскольку каждая точка пространства T ₁ замкнута. Эта особенность лежит в основе построения резольвент Годемента , используемых, например, в алгебраической геометрии для получения функториальных инъективных резольвентных пучков. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G\to x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Свойства стебля

Как указано во введении, стебли отражают локальное поведение снопа. Поскольку предполагается, что пучок определяется своими локальными ограничениями (см. аксиому склейки ), можно ожидать, что стебли захватывают изрядное количество информации, которую кодирует пучок. Это действительно правда:

• Морфизм пучков является изоморфизмом , эпиморфизмом или мономорфизмом соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех слоях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, также изоморфны, потому что между рассматриваемыми пучками может не быть отображения.)

В частности:

• Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп) тогда и только тогда, когда все слои пучка обращаются в нуль. Следовательно, точность данного функтора можно проверить на стеблях, что зачастую проще, поскольку можно переходить к все меньшим и меньшим окрестностям.

Оба утверждения неверны для предпучков . Однако стебли снопов и предснопов тесно связаны:

• Учитывая предпучок и его сноп , стебли и согласуются. Это следует из того, что пучок является образом через левый сопряженный (поскольку функтор пучка левосопряжен к функтору включения ) и того факта, что левые сопряженные сохраняют копределы. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle (-)^{+}:\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}\to Sh(X)}$ ${\displaystyle Sh(X)\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}(X)^{op}}}$

Ссылка

• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 9780387902449.
• Теннисон, БР (1975). Теория снопа. дои : 10.1017/CBO9780511661761. ISBN 9780521207843.

Внешние ссылки

• преследовать в nLab
• Авторы проекта Stacks. «6.11 Стебли».
• Авторы проекта Stacks. «6.27 Снопы и стебли небоскребов».
• Горески, Марк. «Введение в извращенные пучки» (PDF) . Институт перспективных исследований.
• Киран Кедлайя. 18.726 Алгебраическая геометрия (LEC # 3–5 пучков), весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .