Степень многочлена

Математическая концепция

В математике степень многочлена — это наивысшая из степеней мономов многочлена (отдельных членов) с ненулевыми коэффициентами. Степень члена — это сумма показателей степеней переменных , которые в нем появляются, и, таким образом, является неотрицательным целым числом . Для одномерного многочлена степень многочлена — это просто наивысший показатель степени, встречающийся в многочлене. ^[1] Термин порядок использовался как синоним степени , но в настоящее время может относиться к нескольким другим понятиям (см. Порядок многочлена (неоднозначность) ).

Например, многочлен , который также можно записать как имеет три члена. Первый член имеет степень 5 (сумма степеней 2 и 3), второй член имеет степень 1, а последний член имеет степень 0. Таким образом, многочлен имеет степень 5, что является наивысшей степенью любого члена. ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$ ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

Чтобы определить степень многочлена, который не находится в стандартной форме, например , , можно привести его к стандартной форме, разложив произведения (по дистрибутивности ) и объединив подобные члены; например, имеет степень 1, даже если каждое слагаемое имеет степень 2. Однако это не требуется, когда многочлен записан в виде произведения многочленов в стандартной форме, поскольку степень произведения равна сумме степеней множителей. ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$ ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

Названия многочленов по степени

Следующие названия присваиваются многочленам в зависимости от их степени: ^{[2] [3] [4]}

• Особый случай – ноль (см. § Степень нулевого полинома ниже)
• Степень 0 – ненулевая константа ^[5]
• Степень 1 – линейная
• Степень 2 – квадратичная
• Степень 3 – кубическая
• Степень 4 – квартика (или, если все члены имеют четную степень, биквадратная )
• Степень 5 – квинтик
• Степень 6 – секстичная (или, реже, гексатичная)
• Степень 7 – септическая (реже гептическую)
• Степень 8 – октичная
• Степень 9 – ноничная
• Степень 10 – децик

Названия для степени выше трех основаны на латинских порядковых числительных и заканчиваются на -ic . Это следует отличать от названий, используемых для числа переменных, арности , которые основаны на латинских дистрибутивных числах и заканчиваются на -ary . Например, многочлен второй степени от двух переменных, такой как , называется «двоичным квадратным»: двоичный из-за двух переменных, квадратный из-за степени два. ^[a] Существуют также названия для числа членов, которые также основаны на латинских дистрибутивных числах, заканчивающихся на -nomial ; распространенными являются одночлен , двучлен и (реже) трехчлен ; таким образом, является «двоичным квадратным двучленом». ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

Примеры

Многочлен является кубическим многочленом: после умножения и приведения членов одинаковой степени он становится равен , с наивысшим показателем 3. ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$ ${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

Многочлен является многочленом пятой степени: при объединении подобных членов два члена степени 8 сокращаются, оставляя , с наивысшим показателем 5. ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$ ${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

Поведение при полиномиальных операциях

Степень суммы, произведения или композиции двух многочленов тесно связана со степенью входных многочленов. ^[6]

Добавление

Степень суммы (или разности) двух многочленов меньше или равна большей из их степеней, то есть:

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$и . ${\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

Например, степень равна 2, и 2 ≤ max{3, 3}. ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

Равенство всегда выполняется, когда степени многочленов различны. Например, степень равна 3, а 3 = max{3, 2}. ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

Умножение

Степень произведения многочлена на ненулевой скаляр равна степени многочлена, то есть,

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$.

Например, степень равна 2, что равно степени . ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$ ${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

Таким образом, множество многочленов (с коэффициентами из заданного поля F ), степени которых меньше или равны заданному числу n, образует векторное пространство ; подробнее см. Примеры векторных пространств .

В более общем случае степень произведения двух многочленов над полем или областью целостности равна сумме их степеней:

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$.

Например, степень равна 5 = 3 + 2. ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

Для многочленов над произвольным кольцом вышеуказанные правила могут быть недействительны из-за сокращения, которое может произойти при умножении двух ненулевых констант. Например, в кольце целых чисел по модулю 4 имеем , но , что не равно сумме степеней множителей. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$ ${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

Состав

Степень композиции двух непостоянных многочленов и над полем или областью целостности равна произведению их степеней: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

Например, если имеет степень 3 и имеет степень 2, то их композиция имеет степень 6. ${\displaystyle P=x^{3}+x}$ ${\displaystyle Q=x^{2}-1}$ ${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

Обратите внимание, что для многочленов над произвольным кольцом степень композиции может быть меньше произведения степеней. Например, в композиции многочленов и (оба степени 1) есть постоянный многочлен степени 0. ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 1+2x}$ ${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

Степень нулевого многочлена

Степень нулевого многочлена либо остается неопределенной, либо определяется как отрицательная (обычно −1 или ). ^[7] ${\displaystyle -\infty }$

Как и любое постоянное значение, значение 0 можно рассматривать как (постоянный) многочлен, называемый нулевым многочленом . Он не имеет ненулевых членов, и поэтому, строго говоря, он также не имеет степени. Как таковая, его степень обычно не определена. Предложения для степени сумм и произведений многочленов в предыдущем разделе не применяются, если какой-либо из вовлеченных многочленов является нулевым многочленом. ^[8]

Однако удобно определить степень нулевого многочлена как отрицательную бесконечность и ввести арифметические правила ^[9] ${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

и

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

Эти примеры иллюстрируют, как это расширение удовлетворяет приведенным выше правилам поведения:

• Степень суммы равна 3. Это удовлетворяет ожидаемому поведению, которое заключается в том, что . ${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$ ${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• Степень разницы равна . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, которое заключается в том, что . ${\displaystyle (x)-(x)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• Степень произведения равна . Это удовлетворяет ожидаемому поведению, которое заключается в том, что . ${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

Вычислено на основе значений функции

Существует ряд формул, которые оценят степень полиномиальной функции f . Одна из них основана на асимптотическом анализе :

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

это точный аналог метода оценки наклона на графике в двойном логарифмическом масштабе .

Эта формула обобщает понятие степени на некоторые функции, которые не являются полиномами. Например:

• Степень мультипликативной инверсии , , равна −1. ${\displaystyle \ 1/x}$
• Степень квадратного корня , , равна 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• Степень логарифма , , равна 0. ${\displaystyle \ \log x}$
• Степень показательной функции , , равна ${\displaystyle \exp x}$ ${\displaystyle \infty .}$

Формула также дает разумные результаты для многих комбинаций таких функций, например, степень равна . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$ ${\displaystyle -1/2}$

Другая формула для вычисления степени f по ее значениям:

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

эта вторая формула следует из применения правила Лопиталя к первой формуле. Хотя интуитивно понятно, что речь идет скорее о представлении степени d как дополнительного постоянного множителя в производной . ${\displaystyle dx^{d-1}}$ ${\displaystyle x^{d}}$

Более детальное (чем простая числовая степень) описание асимптотики функции можно получить, используя большую нотацию O. Например, при анализе алгоритмов часто бывает важно различать темпы роста и , которые оба будут иметь одинаковую степень согласно приведенным выше формулам. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\log x}$

Расширение до многочленов с двумя и более переменными

Для многочленов от двух или более переменных степень члена равна сумме показателей степеней переменных в члене; степень (иногда называемая общей степенью ) многочлена снова равна максимальной из степеней всех членов в многочлене. Например, многочлен x ² y ² + 3 x ³ + 4 y имеет степень 4, ту же степень, что и член x ² y ² .

Однако многочлен от переменных x и y — это многочлен от x с коэффициентами, являющимися многочленами от y , а также многочлен от y с коэффициентами, являющимися многочленами от x . Многочлен

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

имеет степень 3 по x и степень 2 по y .

Функция степени в абстрактной алгебре

Для данного кольца R кольцо многочленов R [ x ] представляет собой множество всех многочленов от x , имеющих коэффициенты в R. В частном случае, когда R также является полем , кольцо многочленов R [ x ] является областью главных идеалов и, что более важно для нашего обсуждения, евклидовой областью .

Можно показать, что степень многочлена над полем удовлетворяет всем требованиям функции нормы в евклидовой области. То есть, если даны два многочлена f ( x ) и g ( x ), степень произведения f ( x ) g ( x ) должна быть больше, чем обе степени f и g по отдельности. На самом деле, имеет место нечто более сильное:

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

В качестве примера того, почему функция степени может потерпеть неудачу в кольце, которое не является полем, рассмотрим следующий пример. Пусть R = , кольцо целых чисел по модулю 4. Это кольцо не является полем (и даже не является областью целостности ), потому что 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Поэтому пусть f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1. Тогда f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1. Таким образом, deg( f ⋅ g ) = 0, что не больше степеней f и g (каждая из которых имела степень 1). ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Поскольку функция нормы не определена для нулевого элемента кольца, мы считаем, что степень многочлена f ( x ) = 0 также не определена, так что она следует правилам нормы в евклидовой области.

Смотрите также

• Теорема Абеля–Руффини
• Основная теорема алгебры

Примечания

1. Для простоты это однородный многочлен с одинаковой степенью по обеим переменным в отдельности.

1. Гуллберг, Ян (1997), Математика от рождения чисел, WW Norton & Company, стр. 128, ISBN 9780393040029
2. Мак Лейн и Биркгофф (1999) определяют «линейный», «квадратичный», «кубический», «четвертый» и «пятый». (стр. 107)
3. Кинг (2009) определяет «квадратный», «кубический», «четвертый», «квинтический», «шестнадцатый», «септический» и «восьмой».
4. Джеймс Кокл предложил названия «sexic», «septic», «octic», «nonic» и «decic» в 1851 году. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
5. Шафаревич (2003) говорит о многочлене нулевой степени: «Такой многочлен называется константой , потому что если мы подставим в него различные значения x , то всегда получим одно и то же значение » (стр. 23). ${\displaystyle f(x)=a_{0}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
6. Ланг, Серж (2005), Алгебра (3-е изд.), Springer, стр. 100, ISBN 978-0-387-95385-4
7. Шафаревич (2003) говорит о нулевом многочлене: «В этом случае мы считаем, что степень многочлена не определена». (стр. 27)
   Чайлдс (1995) использует −1. (стр. 233)
   Чайлдс (2009) использует −∞ (стр. 287), однако он исключает нулевые многочлены в своем Предложении 1 (стр. 288), а затем объясняет, что предложение справедливо для нулевых многочленов «с разумным предположением, что + m = для m любого целого числа или m = ». Акслер (1997) использует −∞. (стр. 64) Гриле (2007) говорит: «Степень нулевого многочлена 0 иногда остается неопределенной или по-разному определяется как −1 ∈ или как , при условии, что deg 0 < deg A для всех A ≠ 0». ( A — многочлен.) Однако в своем предложении 5.3 он исключает нулевые многочлены. (стр. 121) ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$
   
   ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$
8. Колдуэлл, Уильям (2009), «Применение отображения концепций в алгебре I», в Афамасага-Фуатаи, Каролин (ред.), Отображение концепций в математике: исследование практики , Springer, стр. 217–234, doi :10.1007/978-0-387-89194-1_11, ISBN 9780387891941; см. раздел «Степень многочлена», стр. 225–226: «Произведение нулевого многочлена [на] любой другой многочлен всегда является нулевым многочленом, поэтому такое свойство степеней (степень произведения является суммой степеней двух множителей) не выполнялось бы, если бы один из двух многочленов был многочленом 0. Вот почему мы не присваиваем степень нулевому многочлену».
9. Акслер (1997) приводит эти правила и говорит: «Объявлено, что многочлен 0 имеет степень , так что для различных разумных результатов исключения не нужны» (стр. 64) ${\displaystyle -\infty }$

Ссылки

• Акслер, Шелдон (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387982595
• Чайлдс, Линдси Н. (1995), Конкретное введение в высшую алгебру (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387989990
• Чайлдс, Линдси Н. (2009), Конкретное введение в высшую алгебру (3-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387745275
• Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer Science & Business Media, ISBN 9780387715681
• Кинг, Р. Брюс (2009), За пределами уравнения четвертой степени, Springer Science & Business Media, ISBN 9780817648497
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгофф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 9780821816462
• Шафаревич, Игорь Р. (2003), Рассуждения об алгебре, Springer Science & Business Media, ISBN 9783540422532