Стерадиан

Единица измерения телесного угла, производная от СИ

Стерадиа́н (символ: ср ) или квадратный радиан ^{[1] [2]} — единица измерения телесного угла в Международной системе единиц (СИ). Она используется в трехмерной геометрии и аналогична радиану , который количественно определяет плоские углы . Телесный угол в форме прямого кругового конуса можно спроецировать на сферу, определяя сферическую чашу там, где конус пересекает сферу. Величина телесного угла, выраженная в стерадианах, определяется как частное от деления площади поверхности сферической чаши на квадрат радиуса сферы. Это аналогично тому, как плоский угол, спроецированный на окружность, определяет дугу окружности на окружности, длина которой пропорциональна углу. Стерадианы можно использовать для измерения телесного угла любой формы. Телесный угол, противолежащий этой чаше, такой же, как у конуса с той же проекцией.

В СИ телесный угол считается безразмерной величиной, частным от деления площади, спроецированной на окружающую сферу, на квадрат радиуса сферы. И числитель, и знаменатель этого отношения имеют размерность длины в квадрате (т. е. L ² /L ² = 1 , безразмерный). Это число стерадиан (квадратных радиан) в физическом телесном угле. Это означает, что «стерадиан» СИ — это число стерадиан в фактическом телесном угле, равном одному физическому стерадиану, что, конечно, равно числу один. Полезно различать безразмерные величины другого рода , такие как радиан (в СИ отношение величин размерности длины), поэтому символ ср используется для обозначения физического телесного угла. Например, интенсивность излучения может быть измерена в ваттах на стерадиан (Вт⋅ср ⁻¹ ). Раньше стерадиан был дополнительной единицей СИ , но эта категория была упразднена в 1995 году, и теперь стерадиан считается производной единицей СИ .

Название стерадиан происходит от греческого στερεός stereos «тело» + радиан.

Телесный угол стран и других субъектов относительно центра Земли.

Определение

Стерадиану можно определить как телесный угол, стягиваемый в центре единичной сферы единичной площадью (любой формы) на ее поверхности. Для общей сферы радиусом r любая часть ее поверхности с площадью A = r ² стягивает один стерадиан в ее центре. ^[3]

Телесный угол в форме кругового конуса связан с площадью, которую он вырезает из сферы:

${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\ {\text{sr}}\,={\frac {2\pi h}{r}}\ {\text{sr}},}$

где

• Ω — телесный угол
• A — площадь поверхности сферической крышки , ${\displaystyle 2\pi rh}$
• r — радиус сферы,
• h — высота колпачка, а
• sr — единица измерения, стерадиан.

Поскольку площадь поверхности A сферы равна 4 πr ² , определение подразумевает, что сфера стягивает 4 π стерадиан (≈ 12,56637 ср) в своем центре, или что стерадиан стягивает 1/4 π ≈ 0,07958 сферы. По тому же аргументу максимальный телесный угол, который может быть стянут в любой точке, равен 4 π ср .

Другие свойства

Сечение конуса (1) и сферического колпачка (2), которые образуют телесный угол в один стерадиан внутри сферы.

Площадь сферического колпачка равна A = 2 πrh , где h — «высота» колпачка. Если A = r ² , то . Из этого можно вычислить угол раскрытия плоскости 2 θ поперечного сечения простого конуса, телесный угол которого равен одному стерадиану: ${\displaystyle {\tfrac {h}{r}}={\tfrac {1}{2\pi }}}$

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {h}{r}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right),}$

что дает θ ≈ 0,572 рад или 32,77° и 2 θ ≈ 1,144 рад или 65,54°.

Телесный угол простого конуса, поперечное сечение которого образует угол 2 θ, равен:

${\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos \theta ){\text{ sr}}=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\text{ sr}}.}$

Стерадианы также равны площади полной сферы ( spat ), ≈ 3282,80635  квадратных градусов и сферической площади многоугольника с углом, превышающим 1 радиан. ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{4\pi }}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {360^{\circ }}{2\pi }}\right)^{2}}$

СИ кратные

Миллистеррадианы (мср) и микростерадианы (мср) иногда используются для описания световых и частицевых пучков. ^{[4] [5]} Другие кратные используются редко.

Смотрите также

• n -сфера
• Спат (угловая единица)
• Созвездия, обозначенные МАС по площади

Ссылки

1. Штуцман, Уоррен Л.; Тиле, Гэри А. (2012-05-22). Теория и конструкция антенн. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-57664-9.
2. Вулард, Эдгар (2012-12-02). Сферическая астрономия. Elsevier. ISBN 978-0-323-14912-9.
3. "Steradian", McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms , пятое издание, главный редактор Сибил П. Паркер. McGraw-Hill, 1997. ISBN 0-07-052433-5 . 
4. Стивен М. Шафрот, Джеймс Кристофер Остин, Атомная физика на основе ускорителей: методы и приложения , 1997, ISBN 1563964848 , стр. 333 
5. Р. Брейсвелл, Говинд Сваруп, «Стэнфордская микроволновая спектрогелиографическая антенна, микростерадианный интерферометр с карандашным пучком» IRE Transactions on Antennas and Propagation 9 :1:22-30 (1961)

Внешние ссылки

• Медиа, связанные со Steradian на Wikimedia Commons