В логике и математике обращение категорического или подразумеваемого утверждения является результатом перестановки двух составляющих его утверждений . Для импликации P → Q обратным является Q → P. Для категорического предложения Все S есть P , обратное: Все P есть S. В любом случае истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения. [1]
Пусть S — утверждение вида P, влечет Q ( P → Q ). Тогда обратным утверждением S является утверждение Q, подразумевающее P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности его обратного [2] , если только антецедент P и последующий Q не являются логически эквивалентными.
Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение этого утверждения: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно верно .
Однако обратное утверждение с взаимовключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это эквивалентно утверждению, что обратное определение верно. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», поскольку определение «треугольника» такое: трехсторонний многоугольник».
Таблица истинности проясняет, что S и обратное к S логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:
Переход от утверждения к его обратному является ошибкой утверждения следствия . Однако если утверждение S и обратное ему эквивалентны (т. е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.
Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и
На естественном языке это можно было бы перевести как «не Q без P ».
В математике обратной теоремой формы P → Q будет Q → P . Обратное утверждение может быть верным, а может и не быть, и даже если оно верно, доказательство может оказаться трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная к ней — только в 1997 году. [3]
На практике при определении обращения математической теоремы аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающий контекст. То есть, обратным к высказыванию «Дано P, если Q, то R » будет «Дано P, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины , , и , если угол, противолежащий стороне длины, является прямым углом, то .
Обратное утверждение, которое также появляется в « Началах » Евклида (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины , , и , если , то угол, противоположный стороне длины, является прямым углом.
Если это бинарное отношение , то обратное отношение также называется транспонированием . [4]
Обратную импликацию P → Q можно записать Q → P , но также можно обозначить или «B pq » (в обозначениях Боченского ). [ нужна цитата ]
В традиционной логике процесс переключения субъектного термина на термин-предикат называется конверсией . Например, переход от «Нет S — это P» к обратному «Нет P — это S» . По словам Асы Махана :
«Исходное предложение называется экспозицией; когда оно преобразовано, оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не подтверждается или не подразумевается в экспозиции». [5]
«Exposita» чаще называют «конвертированным». В своей простой форме преобразование справедливо только для предложений E и I : [6]
Действительность простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением: «Ни один термин не должен быть распределен в обратном направлении, если он не распределен в преобразуемом». [7] Для предложений E распределены как подлежащее, так и предикат , а для предложений I — ни то, ни другое.
Для предложений А субъект распределен, а предикат — нет, и поэтому вывод из утверждения А к обратному ему недействителен. Например, для предложения А «Все кошки — млекопитающие» обратное «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» верно. Логики определяют преобразование на случайность как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод из утверждения к обратному ему per Accidens обычно верен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от всеобщего к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: утверждение «Все единороги — млекопитающие» часто принимается за истину, тогда как обратное утверждение per Accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложно.
В исчислении предикатов первого порядка все S есть P можно представить как . [8] Таким образом, ясно, что категорическое обращение тесно связано с импликативным обращением и что S и P нельзя поменять местами в All S is P .
