stringtranslate.com

Край (геометрия)

В геометрии ребро — это особый тип отрезка прямой, соединяющего две вершины многоугольника , многогранника или многогранника более высокой размерности . [1] В многоугольнике ребро — это отрезок прямой на границе, [2] и часто называется стороной многоугольника . В многограннике или , в более общем смысле, многограннике, ребро — это отрезок прямой, где встречаются две грани (или стороны многогранника). [3] Отрезок, соединяющий две вершины, проходя через внутреннюю или внешнюю часть, не является ребром, а вместо этого называется диагональю .

Ребро также может быть бесконечной линией, разделяющей две полуплоскости . [4] Стороны плоского угла являются полубесконечными полулиниями (или лучами). [5]

Отношение к ребрам в графах

В теории графов ребро — это абстрактный объект, соединяющий две вершины графа , в отличие от ребер многоугольника и многогранника, которые имеют конкретное геометрическое представление в виде отрезка прямой. Однако любой многогранник может быть представлен его скелетом или скелетом ребра, графом, вершины которого являются геометрическими вершинами многогранника, а ребра соответствуют геометрическим ребрам. [6] И наоборот, графы, являющиеся скелетами трехмерных многогранников, могут быть охарактеризованы теоремой Штейница как в точности 3-вершинно-связанные планарные графы . [7]

Число ребер в многограннике

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

где V — число вершин , E — число ребер, а F — число граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, число ребер на 2 меньше суммы числа вершин и граней. Например, куб имеет 8 вершин и 6 граней, а значит, 12 ребер.

Инциденты с другими лицами

В многоугольнике в каждой вершине сходятся два ребра ; в более общем случае, по теореме Балинского , в каждой вершине d -мерного выпуклого многогранника сходятся по крайней мере d ребер . [8] Аналогично, в многограннике в каждом ребре сходятся ровно две двумерные грани, [9] тогда как в многогранниках более высокой размерности сходятся три или более двумерных граней в каждом ребре.

Альтернативная терминология

В теории многомерных выпуклых многогранников грань или сторона d -мерного многогранника является одной из его ( d  − 1)-мерных особенностей, гребень является ( d  − 2)-мерной особенностью, а вершина является ( d − 3)-мерной особенностью. Таким образом, ребра многоугольника являются  его гранями, ребра 3-мерного выпуклого многогранника являются его хребтами, а ребра 4-мерного многогранника являются его вершинами. [10]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам, Graduate Texts in Mathematics , т. 152, Springer, Определение 2.1, стр. 51, ISBN 9780387943657.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge". Из Wolfram MathWorld.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge". Из Wolfram MathWorld.
  4. ^ Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 64, ISBN 0-07-072191-2
  5. ^ Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 68, ISBN 0-07-072191-2
  6. ^ Сенешаль, Марджори (2013), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении, Springer, стр. 81, ISBN 9780387927145.
  7. ^ Писански, Томаж ; Рандич, Милан (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work , MAA Notes, т. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Math. Assoc. America, стр. 174–194, MR  1782654. См. в частности теорему 3, стр. 176.
  8. ^ Балински, М. Л. (1961), «О структуре графа выпуклых многогранников в n-пространстве», Pacific Journal of Mathematics , 11 (2): 431–434, doi : 10.2140/pjm.1961.11.431 , MR  0126765.
  9. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 1, ISBN 9780521098595.
  10. ^ Зайдель, Раймунд (1986), «Построение многомерных выпуклых оболочек с логарифмической стоимостью на грань», Труды восемнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC '86) , стр. 404–413, doi :10.1145/12130.12172, S2CID  8342016.

Внешние ссылки