Стохастическая волатильность

Когда дисперсия является случайной величиной

В статистике модели стохастической волатильности — это те, в которых дисперсия стохастического процесса сама по себе распределена случайным образом. ^[1] Они используются в области математических финансов для оценки производных ценных бумаг , таких как опционы . Название происходит от трактовки моделями волатильности базовой ценной бумаги как случайного процесса , управляемого переменными состояния, такими как уровень цены базовой ценной бумаги, тенденция волатильности возвращаться к некоторому долгосрочному среднему значению и дисперсия самого процесса волатильности, среди прочего.

Модели стохастической волатильности являются одним из подходов к устранению недостатка модели Блэка-Шоулза . В частности, модели, основанные на Блэке-Шоулзе, предполагают, что базовая волатильность постоянна в течение срока действия производного инструмента и не зависит от изменений уровня цен базовой ценной бумаги. Однако эти модели не могут объяснить давно наблюдаемые особенности поверхности подразумеваемой волатильности, такие как улыбка и перекос волатильности, которые указывают на то, что подразумеваемая волатильность имеет тенденцию меняться в зависимости от цены исполнения и даты истечения срока действия. Предполагая, что волатильность базовой цены является стохастическим процессом, а не константой, становится возможным более точно моделировать производные инструменты.

Промежуточное положение между голой моделью Блэка-Шоулза и моделями стохастической волатильности занимают модели локальной волатильности . В этих моделях базовая волатильность не содержит никакой новой случайности, но она также не является константой. В моделях локальной волатильности волатильность является нетривиальной функцией базового актива без какой-либо дополнительной случайности. Согласно этому определению, такие модели, как постоянная эластичность дисперсии, будут моделями локальной волатильности, хотя иногда их классифицируют как модели стохастической волатильности. В некоторых случаях классификация может быть немного неоднозначной.

Ранняя история стохастической волатильности имеет несколько корней (т. е. стохастический процесс, ценообразование опционов и эконометрика), она рассмотрена в главе 1 книги Нила Шепарда (2005) «Стохастическая волатильность», издательство Оксфордского университета.

Базовая модель

Исходя из подхода постоянной волатильности, предположим, что цена базового актива производного инструмента следует стандартной модели геометрического броуновского движения :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$

где — постоянный дрейф (т.е. ожидаемая доходность) цены ценной бумаги , — постоянная волатильность, а — стандартный винеровский процесс с нулевым средним и единичной нормой дисперсии . Явное решение этого стохастического дифференциального уравнения — ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle dW_{t}\,}$

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}$

Оценка максимального правдоподобия для оценки постоянной волатильности для заданных цен акций в разное время выглядит следующим образом: ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle S_{t}\,}$ ${\displaystyle t_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\sigma }}^{2}&=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(\ln S_{t_{i}}-\ln S_{t_{i-1}})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)-{\frac {1}{n}}{\frac {(\ln S_{t_{n}}-\ln S_{t_{0}})^{2}}{t_{n}-t_{0}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\left({\frac {\ln {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}}{t_{i}-t_{i-1}}}-{\frac {\ln {\frac {S_{t_{n}}}{S_{t_{0}}}}}{t_{n}-t_{0}}}\right)^{2};\end{aligned}}}$

его ожидаемое значение равно ${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\widehat {\sigma }}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.}$

Эта базовая модель с постоянной волатильностью является отправной точкой для моделей нестохастической волатильности, таких как модель Блэка–Шоулза и модель Кокса–Росса–Рубинштейна . ${\displaystyle \sigma \,}$

Для модели стохастической волатильности замените постоянную волатильность функцией , которая моделирует дисперсию . Эта функция дисперсии также моделируется как броуновское движение, а форма зависит от конкретной изучаемой модели SV. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \nu _{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\alpha _{\nu ,t}\,dt+\beta _{\nu ,t}\,dB_{t}\,}$

где и являются некоторыми функциями , а — еще одна стандартная гауссова функция, которая коррелирует с постоянным коэффициентом корреляции . ${\displaystyle \alpha _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \beta _{\nu ,t}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

модель Хестона

Популярная модель Хестона — это широко используемая модель SV, в которой случайность процесса дисперсии изменяется как квадратный корень дисперсии. В этом случае дифференциальное уравнение для дисперсии принимает вид:

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dB_{t}\,}$

где — среднее долгосрочное отклонение, — скорость, с которой отклонение возвращается к своему долгосрочному среднему значению, — волатильность процесса отклонения, и , как и , является гауссовым с нулевым средним и отклонением. Однако и коррелируют с постоянным значением корреляции . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle dW_{t}}$ ${\displaystyle dB_{t}}$ ${\displaystyle \rho }$

Другими словами, модель SV Хестона предполагает, что дисперсия — это случайный процесс, который

1. демонстрирует тенденцию к возвращению к долгосрочному среднему значению со скоростью , ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta }$
2. демонстрирует волатильность, пропорциональную квадратному корню его уровня
3. и источник случайности которого коррелирует (с корреляцией ) со случайностью ценовых процессов базового актива. ${\displaystyle \rho }$

Некоторые параметризации поверхности волатильности, такие как «SVI» ^[2] , основаны на модели Хестона.

Модель CEV

Модель CEV описывает взаимосвязь между волатильностью и ценой, вводя стохастическую волатильность:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}^{\,\gamma }\,dW_{t}}$

Концептуально, на некоторых рынках волатильность растет, когда цены растут (например, сырьевые товары), поэтому . На других рынках волатильность имеет тенденцию расти, когда цены падают, что моделируется с помощью . ${\displaystyle \gamma >1}$ ${\displaystyle \gamma <1}$

Некоторые утверждают, что поскольку модель CEV не включает в себя свой собственный стохастический процесс для волатильности, она не является истинной моделью стохастической волатильности. Вместо этого они называют ее моделью локальной волатильности .

Модель волатильности SABR

Модель SABR (стохастическая альфа, бета, ро), представленная Хаганом и др. ^[3], описывает один форвард (связанный с любым активом, например, индексом, процентной ставкой, облигацией, валютой или акциями) в условиях стохастической волатильности : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}F_{t}^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

Начальные значения и представляют собой текущую форвардную цену и волатильность, тогда как и представляют собой два коррелированных винеровских процесса (т.е. броуновских движения) с коэффициентом корреляции . Постоянные параметры таковы, что . ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle -1<\rho <1}$ ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$ ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$

Главной особенностью модели SABR является возможность воспроизведения эффекта улыбки волатильности .

Модель GARCH

Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности ( GARCH ) — еще одна популярная модель для оценки стохастической волатильности. Она предполагает, что случайность процесса дисперсии меняется вместе с дисперсией, в отличие от квадратного корня дисперсии, как в модели Хестона. Стандартная модель GARCH(1,1) имеет следующую форму для непрерывного дифференциала дисперсии: ^[4]

${\displaystyle d\nu _{t}=\theta (\omega -\nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}\,dB_{t}\,}$

Модель GARCH была расширена посредством многочисленных вариантов, включая NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH, Power GARCH, Component GARCH и т. д. Строго говоря, условные волатильности из моделей GARCH не являются стохастическими, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений. ^[5]

Модель 3/2

Модель 3/2 похожа на модель Хестона, но предполагает, что случайность процесса дисперсии меняется в зависимости от . Форма дифференциала дисперсии: ${\displaystyle \nu _{t}^{3/2}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\nu _{t}(\omega -\theta \nu _{t})\,dt+\xi \nu _{t}^{3/2}\,dB_{t}.\,}$

Однако значение параметров отличается от модели Хестона. В этой модели как параметры возврата к среднему, так и параметры волатильности дисперсии являются стохастическими величинами, заданными как и соответственно. ${\displaystyle \theta \nu _{t}}$ ${\displaystyle \xi \nu _{t}}$

Грубые модели волатильности

Используя оценку волатильности из высокочастотных данных, была поставлена ​​под сомнение гладкость процесса волатильности. ^[6] Было обнаружено, что логарифмическая волатильность ведет себя как дробное броуновское движение с показателем Херста порядка в любой разумной временной шкале. Это привело к принятию модели дробной стохастической волатильности (FSV), ^[7] что приводит к общей грубой FSV (RFSV), где «грубая» означает подчеркнуть, что . Модель RFSV согласуется с данными временных рядов, что позволяет улучшить прогнозы реализованной волатильности. ^{[6] [8]} ${\displaystyle H=0.1}$ ${\displaystyle H<1/2}$

Калибровка и оценка

После выбора конкретной модели SV ее необходимо откалибровать по существующим рыночным данным. Калибровка — это процесс определения набора параметров модели, которые наиболее вероятны с учетом наблюдаемых данных. Одним из популярных методов является использование оценки максимального правдоподобия (MLE). Например, в модели Хестона набор параметров модели можно оценить, применяя алгоритм MLE, такой как метод Powell Directed Set [1], к наблюдениям за историческими ценами базовых ценных бумаг. ${\displaystyle \Psi _{0}=\{\omega ,\theta ,\xi ,\rho \}\,}$

В этом случае вы начинаете с оценки для , вычисляете остаточные ошибки при применении исторических данных о ценах к полученной модели, а затем корректируете , чтобы попытаться минимизировать эти ошибки. После выполнения калибровки стандартной практикой является периодическая повторная калибровка модели. ${\displaystyle \Psi _{0}\,}$ ${\displaystyle \Psi \,}$

Альтернативой калибровке является статистическая оценка, тем самым учитывающая неопределенность параметров. Было предложено и реализовано множество частотных и байесовских методов, как правило, для подмножества вышеупомянутых моделей. Следующий список содержит пакеты расширений для открытого исходного кода статистического программного обеспечения R , которые были специально разработаны для оценки гетероскедастичности. Первые три обслуживают модели типа GARCH с детерминированной волатильностью; четвертый касается оценки стохастической волатильности.

• rugarch: ARFIMA, среднее значение, внешние регрессоры и различные разновидности GARCH с методами подгонки, прогнозирования, моделирования, вывода и построения графиков. ^[9]
• fGarch: Часть среды Rmetrics для обучения «Финансовой инженерии и вычислительным финансам».
• bayesGARCH: байесовская оценка модели GARCH(1,1) с t-критерием Стьюдента. ^[10]
• stochvol: Эффективные алгоритмы для полностью байесовской оценки моделей стохастической волатильности (SV) с помощью методов Монте-Карло с цепями Маркова (MCMC). ^{[11] [12]}

Со временем было разработано множество численных методов, которые решали вопросы ценообразования финансовых активов, таких как опционы, с помощью моделей стохастической волатильности. Недавно разработанное приложение — это модель локальной стохастической волатильности. ^[13] Эта модель локальной стохастической волатильности дает лучшие результаты при ценообразовании новых финансовых активов, таких как валютные опционы.

Существуют также альтернативные библиотеки статистической оценки на других языках, таких как Python:

• PyFlux включает поддержку байесовского и классического вывода для моделей GARCH и beta-t-EGARCH.

Смотрите также

• Модель Блэка-Шоулза
• модель Хестона
• Локальная волатильность
• Марковское переключение мультифрактала
• Мера, нейтральная к риску
• Модель волатильности SABR
• Скачок стохастической волатильности
• Подчиненный
• Волатильность
• Кластеризация волатильности
• Нестабильность, неопределенность, сложность и неоднозначность

Ссылки

1. Джим Гатерал (18 сентября 2006 г.). Поверхность волатильности: Руководство для практиков. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.
2. J Gatheral, Жакье (2014). «Поверхности волатильности SVI без арбитража». Количественные финансы . 14 : 59–71. arXiv : 1204.0646 . дои : 10.1080/14697688.2013.819986. S2CID  41434372.
3. PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Управление риском улыбки, Wilmott, 84-108.
4. Клуппельберг, Клаудия; Линднер, Александр; Маллер, Росс (сентябрь 2004 г.). «Непрерывный во времени процесс GARCH, управляемый процессом Леви: стационарность и поведение второго порядка». J. Appl. Probab . 41 (3): 601–622. doi :10.1239/jap/1091543413.
5. Брукс, Крис (2014). Введение в эконометрику финансов (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 461. ISBN 9781107661455.
6. Джим Гатерал, Тибо Жайссон и Матье Розенбаум (2018). Волатильность груба. Количественные финансы 18(6), страницы 933-949
7. Фабьен Комте и Эрик Рено (1998). Долгая память в моделях стохастической волатильности непрерывного времени. Математика. Финансы, 8(4), 291–323
8. Матье Гарсен (2022). Прогнозирование с дробным броуновским движением: финансовая перспектива. Количественные финансы, 22(8), 1495-1512
9. Галанос, Алексиос (20 сентября 2023 г.). «rugarch: одномерные модели GARCH».
10. Ардиа, Дэвид; Хугерхайде, Леннарт Ф. (2010). «Байесовская оценка модели GARCH(1,1) с инновациями Student-t» (PDF) . The R Journal . 2 (2): 41–47. doi :10.32614/RJ-2010-014. S2CID  17324384.
11. Кастнер, Грегор (2016). «Работа со стохастической волатильностью во временных рядах с использованием пакета R stochvol» (PDF) . Журнал статистического программного обеспечения . 69 (5): 1–30. arXiv : 1906.12134 . doi : 10.18637/jss.v069.i05 .
12. Кастнер, Грегор; Фрювирт-Шнаттер, Сильвия (2014). «Стратегия переплетения вспомогательных факторов (ASIS) для повышения оценки MCMC моделей стохастической волатильности» (PDF) . Вычислительная статистика и анализ данных . 79 : 408–423. arXiv : 1706.05280 . doi :10.1016/j.csda.2013.01.002. S2CID  17019876.
13. ван дер Вейст, Рул (2017). «Численные решения для модели стохастической локальной волатильности». {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Источники

• Стохастическая волатильность и анализ средней дисперсии ^{[ постоянная неработающая ссылка ]} , Хёнсок Ан, Пол Уилмотт, (2006).
• Решение в замкнутой форме для опционов со стохастической волатильностью, SL Heston, (1993).
• Арбитраж внутренней волатильности, Алиреза Джавахери (2005).
• Ускорение калибровки моделей стохастической волатильности, Килин, Фиодар (2006).