Стохастическое уравнение в частных производных

Уравнения с частными производными со случайными силовыми членами и коэффициентами

Стохастические уравнения в частных производных ( SPDE ) обобщают уравнения в частных производных с помощью случайных силовых членов и коэффициентов, таким же образом, как обыкновенные стохастические дифференциальные уравнения обобщают обыкновенные дифференциальные уравнения .

Они имеют отношение к квантовой теории поля , статистической механике и пространственному моделированию . ^{[1] [2]}

Примеры

Одним из наиболее изученных SPDE является стохастическое уравнение теплопроводности ^[3] , которое формально можно записать как

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$

где — лапласиан , а обозначает белый шум пространства-времени . Другие примеры также включают стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение ^[4] и уравнение Шредингера . ^[5] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \xi }$

Обсуждение

Одной из трудностей является их отсутствие регулярности. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются лишь почти 1/2- непрерывными по Гёльдеру в пространстве и 1/4-непрерывными по Гёльдеру во времени. Для измерений два и выше решения даже не являются функциями, но могут быть поняты как случайные распределения .

Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с помощью полугрупповых методов. ^[6]

Однако проблемы начинают возникать при рассмотрении нелинейных уравнений. Например

${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$

где — многочлен. В этом случае даже не ясно, как следует понимать уравнение. Такое уравнение также не будет иметь функционально-значного решения в размерности больше единицы, и, следовательно, не будет иметь точечного смысла. Хорошо известно, что пространство распределений не имеет структуры произведения. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой формы перенормировки . ${\displaystyle P}$

Ранней попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый трюк da Prato–Debussche , который включал изучение таких нелинейных уравнений как возмущений линейных. ^[7] Однако это может быть использовано только в очень ограниченных условиях, поскольку это зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности члена шума вождения. В последние годы эта область резко расширилась, и теперь существует большой механизм, гарантирующий локальное существование для множества докритических SPDE. ^[8]

Смотрите также

• Броуновская поверхность
• Уравнение Кардара–Паризи–Чжана
• Уравнение Кушнера
• исчисление Маллиевена
• Полиномиальный хаос
• Фитильное изделие
• Уравнение Закаи

Ссылки

1. Прево, Клаудия; Рёкнер, Михаэль (2007). Краткий курс по стохастическим уравнениям с частными производными. Конспект лекций по математике. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-70780-6.
2. Krainski, Elias T.; Gómez-Rubio, Virgilio; Bakka, Haakon; Lenzi, Amanda; Castro-Camilo, Daniela; Simpson, Daniel; Lindgren, Finn; Rue, Håvard (2018). Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA. Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-138-36985-6.
3. Эдвардс, С.Ф.; Уилкинсон, Д.Р. (1982-05-08). "Поверхностная статистика зернистого агрегата". Proc. R. Soc. Lond. A. 381 ( 1780): 17–31. Bibcode :1982RSPSA.381...17E. doi :10.1098/rspa.1982.0056. JSTOR  2397363.
4. Даланг, Роберт С.; Франгос, NE (1998). «Уравнение стохастической волны в двух пространственных измерениях». Анналы вероятности . 26 (1): 187–212. doi :10.1214/aop/1022855416. ISSN  0091-1798. JSTOR  2652898.
5. Diósi, Lajos; Strunz, Walter T. (1997-11-24). "Немарковское стохастическое уравнение Шредингера для открытых систем". Physics Letters A. 235 ( 6): 569–573. arXiv : quant-ph/9706050 . Bibcode : 1997PhLA..235..569D. doi : 10.1016/S0375-9601(97)00717-2. ISSN  0375-9601.
6. Уолш, Джон Б. (1986). «Введение в стохастические уравнения в частных производных». В Кармоне, Рене; Кестен, Гарри; Уолш, Джон Б.; Хеннекин, Польша (ред.). Школа вероятностей Сен-Флура XIV - 1984 год . Конспект лекций по математике. Том. 1180. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 265–439. дои : 10.1007/bfb0074920. ISBN 978-3-540-39781-6.
7. Da Prato, Giuseppe; Debussche, Arnaud (2003). «Сильные решения уравнений стохастического квантования». Annals of Probability . 31 (4): 1900–1916. JSTOR  3481533.
8. Корвин, Иван; Шен, Хао (2020). «Некоторые недавние достижения в области сингулярных стохастических уравнений в частных производных». Bull. Amer. Math. Soc . 57 (3): 409–454. doi : 10.1090/bull/1670 .

Дальнейшее чтение

• Бэйн, А.; Крисан, Д. (2009). Основы стохастической фильтрации . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность. Том 60. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0387768953.
• Holden, H.; Øksendal, B.; Ubøe, J.; Zhang, T. (2010). Стохастические уравнения в частных производных: моделирование, функциональный подход с использованием белого шума . Universitext (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. doi : 10.1007/978-0-387-89488-1. ISBN 978-0-387-89487-4.
• Линдгрен, Ф.; Рю, Х.; Линдстрём, Дж. (2011). «Явная связь между гауссовыми полями и гауссовыми марковскими случайными полями: подход на основе стохастических уравнений с частными производными». Журнал Королевского статистического общества, серия B: статистическая методология . 73 (4): 423–498. doi : 10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x. hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . ISSN  1369-7412.
• Xiu, D. (2010). Численные методы для стохастических вычислений: спектральный метод подхода . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14212-8.

Внешние ссылки

• «Мини-курс по стохастическим уравнениям в частных производных» (PDF) . 2006.
• Хайрер, Мартин (2009). «Введение в стохастические уравнения в частных производных». arXiv : 0907.4178 [math.PR].