Структура Хита–Джарроу–Мортона

Структура Хита–Джарроу–Мортона ( HJM ) является общей структурой для моделирования эволюции кривых процентных ставок – в частности, мгновенных кривых форвардных ставок (в отличие от простых форвардных ставок ). Когда волатильность и дрейф мгновенной форвардной ставки предполагаются детерминированными , это известно как гауссовская модель Хита–Джарроу–Мортона (HJM) форвардных ставок. ^{[1] : 394} Для прямого моделирования простых форвардных ставок модель Брейса–Гатарека–Мусиелы представляет собой пример.

Структура HJM берет свое начало в работах Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона конца 1980-х годов, особенно Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1987) – working paper, Cornell University , и Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology (1989) – working paper (revised ed.), Cornell University. Однако у нее есть свои критики, Пол Уилмотт описывает ее как «... на самом деле просто большой ковер, под который можно замести [ошибки]». ^{[2] [3]}

Рамки

Ключом к этим методам является признание того, что дрейфы безарбитражной эволюции определенных переменных могут быть выражены как функции их волатильности и корреляций между собой. Другими словами, оценка дрейфа не требуется.

Модели, разработанные в соответствии с концепцией HJM, отличаются от так называемых моделей краткосрочных ставок в том смысле, что модели типа HJM охватывают полную динамику всей кривой форвардного курса , тогда как модели краткосрочных ставок охватывают только динамику точки на кривой (краткосрочную ставку).

Однако модели, разработанные в соответствии с общими рамками HJM, часто являются немарковскими и могут даже иметь бесконечные измерения. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных ставок удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью выражена конечной марковской системой, что делает ее вычислительно осуществимой. Примерами являются однофакторная модель с двумя состояниями (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken и L. Sankarasubramanian в "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure", Mathematical Finance , 5, No. 1, Jan 1995), а также более поздние многофакторные версии.

Математическая формулировка

Класс моделей, разработанных Хитом, Джарроу и Мортоном (1992), основан на моделировании форвардных курсов.

Модель начинается с введения мгновенной форвардной ставки , , которая определяется как непрерывная ставка начисления процентов, доступная в момент времени , как видно из времени . Связь между ценами облигаций и форвардной ставкой также представлена ​​следующим образом: ${\displaystyle \textstyle f(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t\leq T}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}$

Вот цена на момент погашения облигации с нулевым купоном, выплачивающая $1 . Счет денежного рынка без риска также определяется как ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$ ${\displaystyle \textstyle t}$ ${\displaystyle \textstyle T\geq t}$

${\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}$

Это последнее уравнение позволяет нам определить , безрисковую краткосрочную ставку. Структура HJM предполагает, что динамика при нейтральной по отношению к риску мере ценообразования следующая: ${\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)}$ ${\displaystyle \textstyle f(t,s)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}}$

Где - это -мерный процесс Винера и , - адаптированные процессы . Теперь на основе этой динамики для мы попытаемся найти динамику для и найти условия, которые должны быть удовлетворены в соответствии с правилами ценообразования, нейтральными к риску. Давайте определим следующий процесс: ${\displaystyle \textstyle W_{t}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mu (u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle P(t,s)}$

${\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du}$

Динамику можно получить с помощью правила Лейбница : ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}}$

Если мы определим и предположим, что условия теоремы Фубини выполняются в формуле для динамики , то получим: ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du}$ ${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

По лемме Ито динамика тогда такова: ${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$

${\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Но должен быть мартингейл по мере ценообразования , поэтому мы требуем, чтобы . Дифференцируя это по отношению к, получаем: ${\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}}$ ${\displaystyle \textstyle s}$

${\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds}$

Что в конечном итоге говорит нам, что динамика должна иметь следующий вид: ${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}}$

Что позволяет нам устанавливать цену на облигации и процентные деривативы на основе нашего выбора . ${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Смотрите также

• Модель Блэк–Дерман–Той
• Модель Брейса – Гатарека – Мусиелы
• модель Чэнь
• Модель Cheyette
• Модель Хо–Ли
• Модель Халла–Уайта

Ссылки

Примечания

1. М. Мусиела, М. Рутковски: Методы Мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
2. План одного математика-гика по реформированию Уолл-стрит, Newsweek, май 2009 г.
3. Newsweek 2009

Источники

• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1990). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: дискретное временное приближение. Журнал финансового и количественного анализа , 25:419-440.
• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1991). Оценка условных требований со случайной эволюцией процентных ставок. Архивировано 28 апреля 2017 г. в Wayback Machine . Обзор фьючерсных рынков , 9:54-76.
• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1992). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: новая методология оценки условных требований. Econometrica , 60(1):77-105. doi :10.2307/2951677
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов на процентную ставку (2-е изд.). Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 0-8047-4438-6 

Дальнейшее чтение

• Некустистые деревья для гауссовой HJM и логнормальной прямой модели, проф. Алан Брейс, Технологический университет Сиднея
• Модель структуры терминов Хита-Джарроу-Мортона. Архивировано 23 сентября 2015 г. на Wayback Machine , проф. Дон Чанс , Колледж бизнеса EJ Ourso , Университет штата Луизиана
• Рекомбинация деревьев для одномерных моделей прямой скорости, Дариуш Гатарек, Wyższa Szkoła Biznesu – National-Louis University и Ярослав Колаковский
• Реализация безарбитражной временной структуры моделей процентных ставок в дискретном времени при нормальном распределении процентных ставок, Дуайт М. Грант и Гаутам Вора. Журнал фиксированного дохода , март 1999 г., том 8, № 4: стр. 85–98
• Модель Хита–Джарроу–Мортона и ее применение, Владимир И. Поздыняков, Университет Пенсильвании
• Эмпирическое исследование свойств конвергенции нерекомбинируемого дерева форвардных ставок HJM при ценообразовании процентных деривативов, AR Radhakrishnan New York University
• Моделирование процентных ставок с Хитом, Джарроу и Мортоном. Доктор Дональд ван Девентер, Kamakura Corporation :
  • С одним фактором и волатильностью, зависящей от срока погашения. Архивировано 09.08.2020 на Wayback Machine
  • С одним фактором и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения. Архивировано 05.03.2016 на Wayback Machine
  • С двумя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения. Архивировано 04.03.2016 на Wayback Machine
  • С тремя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения. Архивировано 20 сентября 2020 г. на Wayback Machine