Структура уровня (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии структура уровня на пространстве X — это дополнительная структура, присоединенная к X , которая сжимает или устраняет группу автоморфизмов X , требуя автоморфизмов для сохранения структуры уровня; присоединение структуры уровня часто формулируется как ужесточение геометрии X. [ ^{1] [2]}

В приложениях структура уровня используется при построении пространств модулей ; пространство модулей часто строится как фактор. Наличие автоморфизмов создает трудности для формирования фактора ; таким образом, введение структур уровня помогает преодолеть эту трудность.

Не существует единого определения структуры уровня; скорее, в зависимости от пространства X , вводится понятие структуры уровня. Классическим является определение на эллиптической кривой (см. #Пример: абелева схема). Существует структура уровня, прикрепленная к формальной группе, называемая структурой уровня Дринфельда , введенная в (Drinfeld 1974). ^[3]

Уровневые структуры на эллиптических кривых

Классически, структуры уровней на эллиптических кривых задаются решеткой, содержащей определяющую решетку многообразия. Из теории модулей эллиптических кривых все такие решетки могут быть описаны как решетка для в верхней полуплоскости. Тогда решетка, порожденная дает решетку, которая содержит все точки -кручения на эллиптической кривой, обозначенной . Фактически, заданная такая решетка инвариантна относительно действия на , где ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$ ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle 1/n,\tau /n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E[n]}$ ${\displaystyle \Gamma (n)\subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (n)&={\text{ker}}({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} /n))\\&=\left\{M\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ):M\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\text{ (mod n)}}\right\}\end{aligned}}}$

следовательно, это дает точку в ^[4], называемую пространством модулей структур уровня N эллиптических кривых , которая является модулярной кривой . На самом деле, это пространство модулей содержит немного больше информации: спаривание Вейля ${\displaystyle \Gamma (n)\backslash {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y(n)}$

${\displaystyle e_{n}\left({\frac {1}{n}},{\frac {\tau }{n}}\right)=e^{2\pi i/n}}$

дает точку в корнях -й степени из единицы, следовательно, в . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Пример: абелева схема

Пусть — абелева схема , геометрические слои которой имеют размерность g . ${\displaystyle X\to S}$

Пусть n — положительное целое число, простое с полем вычетов каждого s из S. Для n ≥ 2 структура уровня n — это набор секций, такой что ^[5] ${\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{2g}}$

1. для каждой геометрической точки образуют базис для группы точек порядка n в , ${\displaystyle s:S\to X}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(s)}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{s}}$
2. ${\displaystyle m_{n}\circ \sigma _{i}}$— это раздел тождества, где — умножение на n . ${\displaystyle m_{n}}$

См. также: модульная кривая#Примеры , стек модулей эллиптических кривых .

Смотрите также

• Модульная форма Siegel
• Жесткость (математика)
• Локальная жесткость

Примечания

1. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994, Гл. 7.
2. Кац и Мазур 1985, Введение
3. Делинь, П.; Хусмеллер, Д. (1987). «Обзор модулей Дринфельда» (PDF) . Созерцание Математика . 67 (1): 25–91. doi : 10.1090/conm/067/902591.
4. Сильверман, Джозеф Х., 1955- (2009). Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 439–445. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC  405546184.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
5. Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994, Определение 7.1.

Ссылки

• Дринфельд, В. (1974). «Эллиптические модули». Матем. сборник СССР . 23 (4): 561–592. Bibcode :1974SbMat..23..561D. doi :10.1070/sm1974v023n04abeh001731.
• Кац, Николас М.; Мазур , Барри (1985). Арифметические модули эллиптических кривых . Princeton University Press . ISBN 0-691-08352-5.
• Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2001). Геометрия и когомологии некоторых простых многообразий Шимуры. Annals of Mathematics Studies. Том 151. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3720-5.
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994). Геометрическая теория инвариантов . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том. 34 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-56963-3. МР  1304906.

Дальнейшее чтение

• Заметки по основным пакетам
• Дж. Лурье, Уровневые структуры на эллиптических кривых.