Ландау–Скуайр джет

В гидродинамике струя Ландау–Сквайра или подводная струя Ландау описывает круглую подводную струю , выпущенную из точечного источника импульса в бесконечную жидкую среду того же рода. Это точное решение несжимаемой формы уравнений Навье-Стокса, которая была впервые открыта Львом Ландау в 1944 году ^{[1] [2]} и позднее Гербертом Сквайром в 1951 году. ^[3] Самоподобное уравнение было фактически впервые выведено Н. А. Слезкиным в 1934 году ^[4] , но никогда не применялось к струе. Следуя за работой Ландау, В. И. Яцеев получил общее решение уравнения в 1950 году. ^[5] При наличии твердых стенок задача описывается течением Шнайдера .

Математическое описание

Линии тока струи Ландау-Скуайра для c=0,01

Линии тока струи Ландау-Скуайра для c=0,1

Линии тока струи Ландау-Скуайра для c=1

Задача описывается в сферических координатах с компонентами скорости . Течение осесимметрично, т.е. не зависит от . Тогда уравнение неразрывности и несжимаемые уравнения Навье–Стокса сводятся к виду ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle (u,v,0)}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}u)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(v\sin \theta )=0\\[8pt]&u{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v^{2}}{r}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left(\nabla ^{2}u-{\frac {2u}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}-{\frac {2v\cot \theta }{r^{2}}}\right)\\[8pt]&u{\frac {\partial v}{\partial r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial v}{\partial \theta }}+{\frac {uv}{r}}=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\nu \left(\nabla ^{2}v+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}-{\frac {v}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$

Для решения доступно самоподобное описание в следующей форме: ^[6]

${\displaystyle u={\frac {\nu }{r\sin \theta }}f'(\theta ),\quad v=-{\frac {\nu }{r\sin \theta }}f(\theta ).}$

Подставляя приведенную выше самоподобную форму в основные уравнения и используя граничные условия на бесконечности, находим форму для давления как ${\displaystyle u=v=p-p_{\infty }=0}$

${\displaystyle {\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}=-{\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {\nu u}{r}}+{\frac {c_{1}}{r^{2}}}}$

где - константа. Используя это давление, мы снова находим из уравнения импульса, ${\displaystyle c_{1}}$

${\displaystyle -{\frac {u^{2}}{r}}+{\frac {v}{r}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\nu }{r^{2}}}\left[2u+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)\right]+{\frac {2c_{1}}{r^{3}}}.}$

Заменяя на в качестве независимой переменной, скорости становятся ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$

${\displaystyle u=-{\frac {\nu }{r}}f'(\mu ),\quad v=-{\frac {\nu }{r}}{\frac {f(\mu )}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}}}$

(для краткости используется один и тот же символ для и , хотя они функционально одинаковы, но принимают разные числовые значения) и уравнение принимает вид ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle f(\mu )}$

${\displaystyle f'^{2}+ff''=2f'+[(1-\mu ^{2})f'']'-2c_{1}.}$

После двух интегрирований уравнение сводится к

${\displaystyle f^{2}=4\mu f+2(1-\mu ^{2})f'-2(c_{1}\mu ^{2}+c_{2}\mu +c_{3}),}$

где и являются константами интегрирования. Уравнение выше является уравнением Риккати . После некоторых вычислений можно показать, что общее решение имеет вид ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

${\displaystyle f=\alpha (1+\mu )+\beta (1-\mu )+{\frac {2(1-\mu ^{2})(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\left[c-\int _{1}^{\mu }{\frac {(1+\mu )^{\beta }}{(1-\mu )^{\alpha }}}\right]^{-1},}$

где — константы. Физически соответствующее решение для струи соответствует случаю (Эквивалентно, мы говорим, что , так что решение свободно от особенностей на оси симметрии, за исключением начала координат). ^[7] Следовательно, ${\displaystyle \alpha ,\ \beta ,\ c}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ ${\displaystyle c_{1}=c_{2}=c_{3}=0}$

${\displaystyle f={\frac {2(1-\mu ^{2})}{c+1-\mu }}={\frac {2\sin ^{2}\theta }{c+1-\cos \theta }}.}$

Функция связана с функцией потока как , таким образом, контуры для различных значений обеспечивают линии тока. Константа описывает силу в начале координат, действующую в направлении струи (эта сила равна скорости передачи импульса через любую сферу вокруг начала координат плюс сила в направлении струи, оказываемая сферой из-за давления и вязких сил), точное соотношение между силой и константой дается выражением ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi =\nu rf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32(c+1)}{3c(c+2)}}+8(c+1)-4(c+1)^{2}\ln {\frac {c+2}{c}}.}$

Решение описывает струю жидкости, быстро движущуюся от начала координат и увлекающую за собой медленно движущуюся жидкость за пределы струи. Край струи можно определить как место, где линии тока находятся на минимальном расстоянии от оси, т. е. край задается как

${\displaystyle \theta _{o}=\cos ^{-1}\left({\frac {1}{1+c}}\right).}$

Следовательно, силу можно выразить альтернативно, используя этот полуугол конической границы струи,

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}={\frac {32}{3}}{\frac {\cos \theta _{o}}{\sin ^{2}\theta _{o}}}+{\frac {4}{\cos \theta _{o}}}\ln {\frac {1-\cos \theta _{o}}{1+\cos \theta _{o}}}+{\frac {8}{\cos \theta _{o}}}.}$

Ограничивающее поведение

Когда сила становится большой, полуугол струи становится маленьким, и в этом случае,

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {32}{3\theta _{o}^{2}}}\ll 1}$

и раствор внутри и снаружи струи становится

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )&\sim {\frac {4\theta ^{2}}{\theta ^{2}+\theta _{o}^{2}}},\quad \theta <\theta _{o},\\f(\theta )&\sim 2(1+\cos \theta ),\quad \theta >\theta _{o}.\end{aligned}}}$

Струя в этом предельном случае называется струей Шлихтинга . На другом полюсе, когда сила мала,

${\displaystyle {\frac {F}{2\pi \rho \nu ^{2}}}\sim {\frac {8}{c}}\gg 1}$

полуугол приближается к 90 градусам (нет внутренней и внешней области, вся область рассматривается как одна область), само решение сводится к

${\displaystyle f(\theta )\sim {\frac {2}{c}}\sin ^{2}\theta .}$

Смотрите также

• струя Шлихтинга
• Шнайдер поток

Ссылки

1. Ландау, Л. Д. (1944). Новое точное решение уравнений Навье-Стокса. В Докладах Академии наук СССР (т. 44, с. 311-314).
2. Тер Хаар, Дирк, изд. Сборник статей Л.Д. Ландау. Эльзевир, 2013.
3. Сквайр, Х. Б. (1951). Круглая ламинарная струя. Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики , 4(3), 321-329.
4. Слезкин, Н. А. «О точном решении уравнений вязкого течения», Уч. зап. (1934): 89-90.
5. Яцеев, В. И. (1950). Об одном классе точных решений уравнений движения вязкой жидкости. Журнал технической физики, 20(11), 1031-1034.
6. Седов, Л.И. (1993). Методы подобия и размерности в механике. CRC press.
7. Бэтчелор, Г. К. (2000). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета.