Форма эшелона ряда

Возможная форма матрицы

В линейной алгебре матрица находится в ступенчатой ​​форме , если она может быть получена в результате исключения Гаусса . Каждую матрицу можно привести к ступенчатой ​​форме, применив последовательность элементарных строчных операций . Термин эшелон происходит от французского échelon («уровень» или ступенька лестницы) и относится к тому факту, что ненулевые элементы матрицы в ступенчатой ​​форме выглядят как перевернутая лестница.

Для квадратных матриц верхняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на диагонали находится в ступенчатой ​​форме, а матрица в ступенчатой ​​форме является (слабо) верхней треугольной. Таким образом, ступенчатую форму можно рассматривать как обобщение верхней треугольной формы для прямоугольных матриц.

Матрица находится в приведенной ступенчатой ​​форме, если она находится в ступенчатой ​​форме, с дополнительным свойством, что первый ненулевой элемент каждой строки равен и является единственным ненулевым элементом ее столбца. Приведенная ступенчатая форма матрицы уникальна и не зависит от последовательности элементарных операций по строкам, используемых для ее получения. Вариант метода исключения Гаусса , который преобразует матрицу в приведенную ступенчатую форму, иногда называется методом исключения Гаусса–Жордана . ${\displaystyle 1}$

Матрица находится в форме столбцового ступенчатого типа, если ее транспонирование находится в форме строкового ступенчатого типа. Поскольку все свойства форм столбцового ступенчатого типа могут быть немедленно выведены из соответствующих свойств форм строкового ступенчатого типа, в оставшейся части статьи рассматриваются только формы строкового ступенчатого типа.

(Общая) форма эшелона ряда

Матрица имеет ступенчатую форму, если

• Все строки, содержащие только нулевые записи, находятся внизу. ^[1]
• Начальная запись (то есть самая левая ненулевая запись) каждой ненулевой строки, называемая опорной точкой , находится справа от начальной записи каждой строки выше. ^[2]

В некоторых текстах добавляется условие, что ведущий коэффициент должен быть равен 1 ^[3], в то время как в других это требуется только в форме сокращенного ряда.

Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце под ведущим коэффициентом равны нулю. ^[4]

Ниже приведен пример матрицы в ступенчатой ​​форме, но не в сокращенной ступенчатой ​​форме (см. ниже): ${\displaystyle 4\times 5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Многие свойства матриц, такие как ранг и ядро , можно легко вывести из их ступенчатой ​​формы .

Форма уменьшенного ряда эшелона

Матрица находится в приведенной строчно-ступенчатой ​​форме (также называемой строчно-канонической формой ), если она удовлетворяет следующим условиям: ^[5]

• Он имеет ступенчатую форму.
• Первая запись в каждой ненулевой строке — 1 (называется первой).
• В каждом столбце, содержащем начальную единицу, во всех остальных записях стоят нули.

Если первые два условия выполнены, то последнее условие эквивалентно:

• Каждый столбец, содержащий начальную единицу , имеет нули во всех записях выше начальной единицы .

Хотя матрица может иметь несколько ступенчатых форм, ее сокращенная ступенчатая форма уникальна.

Если для матрицы в форме сокращенного ряда строк переставить столбцы так, чтобы первая единица i - й строки оказалась в i -м столбце, то получится матрица вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

где I — единичная матрица размерности, равной рангу всей матрицы, X — матрица со строками и столбцами, а два 0 — нулевые матрицы соответствующего размера. Поскольку перестановка столбцов не является операцией со строками, результирующая матрица неэквивалентна относительно элементарных операций со строками. В методе исключения Гаусса это соответствует перестановке неизвестных в исходной линейной системе, которая допускает линейную параметризацию пространства строк, в которой первые коэффициенты не ограничены, а остальные определяются как их линейные комбинации. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется ступенчатой, если ее расширенная матрица находится в ступенчатой ​​форме. Аналогично, система линейных уравнений называется редуцированной ступенчатой ​​или канонической, если ее расширенная матрица находится в редуцированной ступенчатой ​​форме.

Каноническую форму можно рассматривать как явное решение линейной системы. Фактически, система является противоречивой тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонической формы сводится к 0 = 1; то есть, если в столбце постоянных членов есть ведущая 1. ^[6] В противном случае, перегруппировка в правой части всех членов уравнений, кроме ведущих, выражает переменные, соответствующие опорным элементам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.

Преобразование в эшелонированную форму

Гауссово исключение является основным алгоритмом для преобразования каждой матрицы в матрицу в форме ступенчатой ​​строки. Вариант, иногда называемый исключением Гаусса–Жордана, создает сокращенную форму ступенчатой ​​строки. Оба состоят из конечной последовательности элементарных операций над строками ; число требуемых элементарных операций над строками не превышает mn для матрицы размером m на n . ^[7] Для заданной матрицы, несмотря на то, что форма ступенчатой ​​строки не является уникальной, все формы ступенчатой ​​строки, включая сокращенную форму ступенчатой ​​строки, имеют одинаковое количество нулевых строк, а опорные точки расположены в тех же позициях. ^[7]

Это пример матрицы в форме сокращенного ступенчатого ряда, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

Для матрицы с целыми коэффициентами нормальная форма Эрмита представляет собой ступенчатую форму строк, которую можно вычислить без введения какого-либо знаменателя, используя евклидово деление или тождество Безу . Приведенная ступенчатая форма матрицы с целыми элементами обычно содержит нецелые элементы из-за необходимости деления на ее старший коэффициент каждой строки ступенчатой ​​формы.

Неединственность ступенчатой ​​формы матрицы следует из того факта, что некоторые элементарные операции над строками преобразуют матрицу в ступенчатой ​​форме в другую ( эквивалентную ) матрицу, которая также находится в ступенчатой ​​форме. Эти элементарные операции над строками включают умножение строки на ненулевой скаляр и добавление скалярного кратного строки к одной из строк над ней. Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

В этом примере уникальная форма ступенчатой ​​структуры с сокращенными строками может быть получена путем вычитания из первой строки три раза второй строки:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

Аффинные пространства редуцированных ступенчатых форм

В этом и следующем разделах мы обозначаем расположение столбцов, содержащих начальные элементы последовательных строк матрицы в форме сокращенного ступенчатого ряда (осевые элементы), как , причем ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

где - размерность пространства строк матрицы. Данные будут называться формой , которая имеет ведущие ненулевые записи , записи в столбце выше и ниже ее исчезают, и то же самое происходит со всеми теми, что слева от нее в той же строке, а также со всеми записями в строке th для : ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.}$

Поскольку все остальные элементы являются произвольными элементами базового поля , множество всех матриц приведенной ступенчатой ​​формы с формой представляет собой K -аффинное пространство размерности ^{[8] [9]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что из возможных записей матрицы в первых строках определяются как 's и 's, поскольку они находятся в столбцах, содержащих опорные элементы. Далее также требуется, чтобы были , поскольку они находятся слева от опорных элементов, но из них, ${\displaystyle nj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

также находятся в столбцах . Таким образом, общее количество записей, которые не зафиксированы, равно или равно ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Максимальный ранг: клетки Шуберта

Ступенчатую форму строк можно использовать для конкретного описания ячеек Шуберта, связанных с грассманианом -мерных подпространств векторного пространства . ${\displaystyle k}$

Если , то матрицы имеют максимальный ранг и определяют -мерные подпространства свободного -модуля , как промежуток ${\displaystyle j=k\leq n}$ ${\displaystyle A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V:=K^{n}}$

${\displaystyle w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}}$

линейных комбинаций

${\displaystyle W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k}$

элементарных базисных векторов с коэффициентами, равными строковым векторам. В этом случае аффинное пространство — это ячейка Шуберта ^{[8] [9]} грассманиана , состоящая из -мерных подпространств, соответствующих целочисленному разбиению ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)}$

с частями, равными

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,}$

относительно полного флага

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),}$

где

${\displaystyle V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.}$

Это означает, что состоит из тех -мерных подпространств , пересечения которых с подпространствами имеют размерности ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.}$

Тогда его размер равен весу перегородки ^[8] ${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

${\displaystyle \dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.}$

Эквивалентную, но более простую характеристику ячейки Шуберта можно дать в терминах двойного полного флага ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

где

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.}$

Тогда состоит из тех -мерных подпространств , которые имеют базис, состоящий из элементов ${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

подпространств , которые относительно стандартного базиса являются векторами-строками ступенчатой ​​формы, записанными в обратном порядке. ${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle (W_{k},\dots ,W_{1})}$

Примечания

1. Формулировка в терминах каждой отдельной нулевой строки в работе Леона (2010, стр. 13): «Говорят, что матрица находится в ступенчатой ​​форме ... (iii) Если есть строки, все элементы которых равны нулю, то они находятся ниже строк, имеющих ненулевые элементы».
2. Леон (2010, стр. 13): «Говорят, что матрица имеет ступенчатую форму ... (ii) Если строка k не состоит полностью из нулей, то количество начальных нулевых записей в строке больше, чем количество начальных нулевых записей в строке k ». ${\displaystyle k+1}$
3. См., например, первый пункт определения ступенчатой ​​формы в работе Леона (2010, стр. 13): «Говорят, что матрица имеет ступенчатую форму , (i) если первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке равен 1».
4. Мейер 2000, стр. 44
5. Мейер 2000, стр. 48
6. Чейни, Уорд; Кинкейд, Дэвид Р. (2010-12-29). Линейная алгебра: теория и приложения. Jones & Bartlett Publishers. стр. 47–50. ISBN 9781449613525.
7. Антон, Говард; Роррес, Крис (2013-10-23). ​​Элементарная линейная алгебра: версия приложений, 11-е издание. Wiley Global Education. стр. 21. ISBN 9781118879160.
8. Fulton, William (1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapt. 9.4 . London Mathematical Society Student Texts. Vol. 35. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511626241. ISBN 9780521567244.
9. Клейман, С. Л.; Лаксов, Дэн (1972). «Исчисление Шуберта». American Mathematical Monthly . 79 (10). Американское математическое общество: 1061–1082. doi : 10.1080/00029890.1972.11993188. ISSN  0377-9017.

Ссылки

• Леон, Стивен Дж. (2010), Линч, Дейрдре; Хоффман, Уильям; Селано, Кэролайн (ред.), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0-13-600929-0Говорят , что матрица имеет ступенчатую форму (i) Если первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке равен 1. (ii) Если строка k не состоит полностью из нулей, то количество начальных нулевых элементов в строке больше, чем количество начальных нулевых элементов в строке k . (iii) Если есть строки, все элементы которых равны нулю, то они находятся ниже строк, имеющих ненулевые элементы. ${\displaystyle k+1}$.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.

Внешние ссылки

• Интерактивная форма Row Echelon с рациональным выводом