В математике топологическое пространство X является стягиваемым , если тождественное отображение на X гомотопно нулю, т.е. если оно гомотопно некоторому постоянному отображению. [1] [2] Интуитивно стягиваемое пространство — это пространство, которое можно непрерывно сжать до точки внутри этого пространства.
Стягиваемое пространство — это в точности пространство с гомотопическим типом точки. Из этого следует, что все гомотопические группы стягиваемого пространства тривиальны . Поэтому любое пространство с нетривиальной гомотопической группой не может быть стягиваемым. Аналогично, поскольку сингулярная гомология является гомотопическим инвариантом, все редуцированные группы гомологии стягиваемого пространства тривиальны.
Для непустого топологического пространства X все следующие условия эквивалентны:
Конус на пространстве X всегда стягиваем. Поэтому любое пространство может быть вложено в стягиваемое (что также иллюстрирует, что подпространства стягиваемых пространств не обязаны быть стягиваемыми) .
Более того, X стягиваем тогда и только тогда, когда существует ретракция из конуса X в X.
Каждое стягиваемое пространство является связным и односвязным . Более того, поскольку все высшие гомотопические группы исчезают, каждое стягиваемое пространство является n -связным для всех n ≥ 0.
Топологическое пространство X локально стягиваемо в точке x , если для каждой окрестности U точки x существует окрестность V точки x, содержащаяся в U, такая, что включение V является нульгомотопным в U. Пространство локально стягиваемо , если оно локально стягиваемо в каждой точке. Это определение иногда называют «локально стягиваемым геометрическим топологом», хотя это наиболее распространенное использование термина. В стандартном тексте «Алгебраической топологии» Хэтчера это определение называется «слабо локально стягиваемым», хотя этот термин имеет и другие применения.
Если каждая точка имеет локальную базу стягиваемых окрестностей, то мы говорим, что X является сильно локально стягиваемым . Стягиваемые пространства не обязательно являются локально стягиваемыми, и наоборот. Например, гребенчатое пространство стягиваемо, но не локально стягиваемо (если бы оно было, оно было бы локально связным, что не так). Локально стягиваемые пространства являются локально n -связными для всех n ≥ 0. В частности, они локально односвязны , локально линейно связны и локально связны . Окружность (сильно) локально стягиваема, но не стягиваема.
Сильная локальная сжимаемость является строго более сильным свойством, чем локальная сжимаемость; контрпримеры сложны, первый из них был приведен Борсуком и Мазуркевичем в их статье Sur les rétractes absolus indécomposables , CR. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112).
Существуют некоторые разногласия относительно того, какое определение является «стандартным» определением локальной стягиваемости; первое определение чаще используется в геометрической топологии, особенно исторически, тогда как второе определение лучше соответствует типичному использованию термина «локальный» в отношении топологических свойств. Всегда следует проявлять осторожность в отношении определений при интерпретации результатов об этих свойствах.