В математике сумма Якоби — это тип суммы характеров, образованных характерами Дирихле . Простыми примерами являются суммы Якоби J ( χ , ψ ) для характеров Дирихле χ , ψ по модулю простого числа p , определяемые формулой
где суммирование выполняется по всем остаткам a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (для которых ни a, ни 1 − a не равны 0). Суммы Якоби являются аналогами для конечных полей бета -функции . Такие суммы были введены К. Г. Дж. Якоби в начале девятнадцатого века в связи с теорией циклотомии . Суммы Якоби J могут быть разложены в общем виде на произведения степеней сумм Гаусса g . Например, когда характер χψ нетривиален,
аналогично формуле для бета-функции в терминах гамма-функций . Поскольку нетривиальные суммы Гаусса g имеют абсолютное значение p 1 ⁄ 2 , отсюда следует, что J ( χ , ψ ) также имеет абсолютное значение p 1 ⁄ 2 , когда символы χψ , χ , ψ нетривиальны. Суммы Якоби J лежат в меньших круговых полях , чем нетривиальные суммы Гаусса g . Например, слагаемые J ( χ , ψ ) не содержат корня p-й степени из единицы , а содержат только значения, которые лежат в круговом поле корней ( p − 1) -й степени из единицы. Подобно суммам Гаусса, суммы Якоби имеют известные простые идеальные факторизации в своих круговых полях; см. теорему Штикельбергера .
Когда χ — символ Лежандра ,
В общем случае значения сумм Якоби связаны с локальными дзета-функциями диагональных форм . Результат по символу Лежандра сводится к формуле p + 1 для числа точек на коническом сечении , которое является проективной прямой над полем из p элементов. Статья Андре Вейля 1949 года в значительной степени оживила эту тему. Действительно, благодаря соотношению Хассе–Дэвенпорта конца 20-го века формальные свойства степеней сумм Гаусса снова стали актуальными.
Помимо указания на возможность записи локальных дзета-функций для диагональных гиперповерхностей с помощью общих сумм Якоби, Вейль (1952) продемонстрировал свойства сумм Якоби как характеров Гекке . Это стало важным после того, как было установлено комплексное умножение абелевых многообразий . Характеры Гекке, о которых идет речь, были именно теми, которые нужны для выражения L -функций Хассе–Вейля кривых Ферма , например. Точные проводники этих характеров, вопрос, который Вейль оставил открытым, были определены в более поздней работе.
