сумма Дедекинда

В математике суммы Дедекинда — это определенные суммы произведений пилообразной функции , которые задаются функцией D трех целых переменных . Дедекинд ввел их для выражения функционального уравнения функции Дедекинда эта . Впоследствии они были тщательно изучены в теории чисел и встречались в некоторых задачах топологии . Суммы Дедекинда имеют большое количество функциональных уравнений; в этой статье перечислена лишь малая часть из них.

Суммы Дедекинда были введены Рихардом Дедекиндом в комментарии к фрагменту XXVIII собрания сочинений Бернхарда Римана .

Определение

Определим пилообразную функцию как ${\displaystyle (\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle (\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Затем мы позволяем

${\displaystyle D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} -\{0\})\to \mathbb {R} }$

быть определено

${\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {an}{c}}\right)\!\!\right)\!\left(\!\!\left({\frac {bn}{c}}\right)\!\!\right),}$

члены справа являются суммами Дедекинда . Для случая a  = 1 часто пишут

с ( б , в ) = D (1, б ; в ).

Простые формулы

Обратите внимание, что D симметричен относительно a и b , и, следовательно,

${\displaystyle D(a,b;c)=D(b,a;c),}$

и что, по нечетности (( )),

D (− а , б ; с ) = − D ( а , б ; с ),

D ( а , b ; − с ) = D ( а , b ; с ).

По периодичности D в его первых двух аргументах, причем третий аргумент является длиной периода для обоих,

D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ) для всех целых чисел k , l .

Если d — положительное целое число, то

D ( ад , бд ; кд ) = дД ( а , б ; в ),

D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ), если ( d , c ) = 1,

D ( ad , b ; cd ) = D ( a , b ; c ), если ( d , b ) = 1.

Существует доказательство последнего равенства с использованием

${\displaystyle \sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {n+x}{c}}\right)\!\!\right)=(\!(x)\!),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .}$

Кроме того, az = 1 (mod c ) подразумевает D ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ).

Альтернативные формы

Если b и c взаимно просты , мы можем записать s ( b , c ) как

${\displaystyle s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},}$

где сумма распространяется на корни c-й степени из единицы, отличные от 1, т.е. на все такие, что и . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{c}=1}$ ${\displaystyle \omega \not =1}$

Если b ,  c > 0 взаимно просты, то

${\displaystyle s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).}$

Закон взаимности

Если b и c — взаимно простые положительные целые числа, то

${\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.}$

Переписываем это как

${\displaystyle 12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,}$

следует, что число 6 c  s ( b , c ) является целым числом.

Если к = (3, с ), то

${\displaystyle 12bc\,s(c,b)=0\mod kc}$

и

${\displaystyle 12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.}$

Соотношение, которое является важным в теории эта-функции Дедекинда , следующее. Пусть q = 3, 5, 7 или 13 и пусть n = 24/( q  − 1). Тогда для данных целых чисел a , b , c , d с ad  −  bc  = 1 (таким образом, принадлежащих модулярной группе ), с c, выбранным так, что c  =  kq для некоторого целого числа k > 0, определим

${\displaystyle \delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}}$

Тогда n δ — четное целое число.

Обобщение Радемахера закона взаимности

Ганс Радемахер нашел следующее обобщение закона взаимности для сумм Дедекинда: ^[1] Если a , b и c — попарно взаимно простые положительные целые числа, то

${\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.}$

Следовательно, указанная выше тройная сумма обращается в нуль тогда и только тогда, когда ( a , b , c ) является марковской тройкой, т.е. решением уравнения Маркова.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc.}$

Ссылки

1. Радемахер, Ганс (1954). «Обобщение формулы взаимности для сумм Дедекинда». Duke Mathematical Journal . 21 : 391–397. doi :10.1215/s0012-7094-54-02140-7. Zbl  0057.03801.

Дальнейшее чтение

• Том М. Апостол , Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97127-0 (См. главу 3.) 
• Маттиас Бек и Синай Робинс, Дедекиндовы суммы: дискретная геометрическая точка зрения Архивировано 18.05.2011 на Wayback Machine , (2005 или ранее)
• Ганс Радемахер и Эмиль Гроссвальд , Суммы Дедекинда , Карус Математика. Монографии, 1972. ISBN 0-88385-016-8 .