Список сумм обратных величин

В математике и особенно в теории чисел сумма обратных величин обычно вычисляется для обратных величин некоторых или всех положительных целых чисел (числовых чисел) — то есть, это, как правило, сумма дробей единиц . Если бесконечно много чисел имеют свои обратные величины, то, как правило, члены задаются в определенной последовательности и первые n из них суммируются, затем добавляется еще один, чтобы получить сумму первых n +1 из них и т. д.

Если включено только конечное число чисел, ключевой проблемой обычно является нахождение простого выражения для значения суммы, или требование, чтобы сумма была меньше определенного значения, или определение того, является ли сумма когда-либо целым числом.

Для бесконечного ряда обратных величин возникают два вопроса: во-первых, расходится ли последовательность сумм , то есть, превышает ли она в конечном итоге какое-либо заданное число, или она сходится , то есть существует некоторое число, к которому она приближается произвольно, не превышая его? (Набор положительных целых чисел называется большим , если сумма его обратных величин расходится, и малым, если он сходится.) Во-вторых, если он сходится, каково простое выражение для значения, к которому он сходится, является ли это значение рациональным или иррациональным , и является ли это значение алгебраическим или трансцендентным ? ^[1]

Конечное множество терминов

Гармоническое среднее набора положительных целых чисел — это количество чисел, умноженное на обратную величину суммы их обратных величин.
Оптическое уравнение требует, чтобы сумма обратных величин двух положительных целых чисел a и b равнялась обратной величине третьего положительного целого числа c . Все решения задаются как a = mn + m ² , b = mn + n ² , c = mn . Это уравнение появляется в различных контекстах элементарной геометрии .
Гипотеза Ферма –Каталана касается определенного диофантова уравнения , приравнивающего сумму двух членов, каждый из которых является положительным целым числом, возведенным в положительную целую степень, к третьему члену, который также является положительным целым числом, возведенным в положительную целую степень (при этом базовые целые числа не имеют общих простых множителей). Гипотеза спрашивает, имеет ли уравнение бесконечность решений, в которых сумма обратных величин трех показателей в уравнении должна быть меньше 1. Цель этого ограничения — исключить известную бесконечность решений, в которых два показателя степени равны 2, а другой показатель степени — любое четное число.
N -ое гармоническое число , представляющее собой сумму обратных величин первых n положительных целых чисел, никогда не является целым числом, за исключением случая n = 1.
Более того, в 1918 году Йожеф Кюршак доказал, что сумма обратных величин последовательных натуральных чисел (начинающихся с 1 или нет) никогда не является целым числом.
Сумма обратных величин первых n простых чисел не является целым числом ни для какого n .
Существует 14 различных комбинаций из четырех целых чисел, сумма обратных им чисел которых равна 1, из которых шесть используют четыре различных целых числа, а восемь повторяют по крайней мере одно целое число.
Египетская дробь — это сумма конечного числа обратных положительных целых чисел. Согласно доказательству проблемы Эрдёша–Грэхема , если множество целых чисел, больших единицы, разбить на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств можно использовать для формирования египетской дроби, представляющей 1.
Гипотеза Эрдёша –Штрауса утверждает, что для всех целых чисел n ≥ 2 рациональное число 4/ n можно выразить как сумму трёх обратных величин положительных целых чисел.
Частное Ферма по основанию 2, которое равно нечетному простому числу p , выраженное по модулю p и умноженное на –2, равно сумме обратных величин по модулю p чисел, лежащих в первой половине диапазона {1, p − 1}. ${\frac {2^{p-1}-1}{p}}$
В любом треугольнике сумма величин, обратных высотам , равна величине, обратной радиусу вписанной окружности ( независимо от того, являются ли они целыми числами).
В прямоугольном треугольнике сумма обратных величин квадратов высот, проведенных из катетов (или, что то же самое, квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты, проведенной из гипотенузы ( обратная теорема Пифагора ). Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми числами; существует формула (см. здесь ), которая генерирует все целые случаи.
Треугольник, не обязательно лежащий в евклидовой плоскости, можно определить как имеющий углы и Тогда треугольник находится в евклидовом пространстве, если сумма обратных величин p, q и r равна 1, в сферическом пространстве , если эта сумма больше 1, и в гиперболическом пространстве , если сумма меньше 1. ${\frac {\pi }{p}},$ ${\frac {\pi }{q}},$ ${\frac {\pi {r}}.$
Гармоническое делительное число — это положительное целое число, делители которого имеют гармоническое среднее , являющееся целым числом. Первые пять из них — 1, 6, 28, 140 и 270. Неизвестно, являются ли какие-либо гармонические делительные числа (кроме 1) нечетными, но нечетных чисел, меньших 10 ²⁴ , не существует .
Сумма обратных величин делителей совершенного числа равна 2.
Когда восемь точек распределены на поверхности сферы с целью максимизации расстояния между ними в некотором смысле, результирующая форма соответствует квадратной антипризме . Конкретные методы распределения точек включают, например, минимизацию суммы всех обратных величин квадратов расстояний между точками.

Бесконечно много терминов

Сходящийся ряд

Последовательность без сумм возрастающих положительных целых чисел — это такая последовательность, в которой ни одно число не является суммой какого-либо подмножества предыдущих чисел. Сумма обратных чисел в любой последовательности без сумм меньше $2,8570$ .

Сумма обратных величин семиугольных чисел сходится к известному значению, которое является не только иррациональным, но и трансцендентным , и для которого существует сложная формула .

Сумма обратных чисел простых чисел-близнецов , которых может быть конечное или бесконечное множество, как известно, конечна и называется константой Бруна , приблизительно равной $1,9022$ . Обратная величина пяти обычно появляется в сумме дважды.

Известно, что сумма обратных величин простых чисел Прота , которых может быть конечное или бесконечное множество, конечна и составляет приблизительно $0,747392479$ . ^[2]

Простые четверки — это пары простых чисел-близнецов, между которыми находится только одно нечетное число. Сумма обратных чисел в простых четверках составляет приблизительно $0,8706$ .

Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты) равна $1$ .

Сумма обратных величин совершенных степеней (исключая дубликаты) составляет приблизительно $0,8745$ . ^[3]

Сумма обратных степеней приблизительно равна $1,2913$ . Сумма в точности равна определенному интегралу : $\ n^{n}\$ $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\ \mathrm {d} x\ }{\ x^{x}}}\$

Эта личность была открыта Иоганном Бернулли в 1697 году и теперь известна как одна из двух личностей , приснившихся второкурснику .

Теорема Гольдбаха–Эйлера утверждает, что сумма обратных величин чисел, которые на 1 меньше полной степени (исключая повторяющиеся числа), равна 1.
Сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел равна $2$ .

Обратная константа Фибоначчи — это сумма обратных чисел Фибоначчи , которая, как известно, конечна и иррациональна и приблизительно равна 3,3599. Для других конечных сумм подмножеств обратных чисел Фибоначчи см. здесь .

Экспоненциальный факториал — это операция, рекурсивно определяемая как Например, где показатели степени оцениваются сверху вниз. Сумма обратных величин экспоненциальных факториалов от 1 и далее составляет приблизительно 1,6111 и является трансцендентной. $\ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.$ $\ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\$

« Мощное число » — это положительное целое число, для которого каждое простое число, появляющееся в его разложении на простые множители, появляется там по крайней мере дважды. Сумма обратных чисел мощных чисел близка к 1,9436. ^[4]

Сумма обратных факториалов равна трансцендентному числу e (одной из двух констант, называемых « числом Эйлера »).

Сумма обратных величин квадратов чисел ( Базельская проблема ) является трансцендентным числом $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠  π 2 /6⁠$ ,или $ζ (2)$ где $ζ$ —дзета-функция Римана.

Сумма обратных величин кубов положительных целых чисел называется постоянной Апери $ζ (3)$ и равна приблизительно 1,2021. Это число иррационально , но неизвестно, является ли оно трансцендентным .

Обратные величины неотрицательных целых степеней числа 2 в сумме дают $2.$ Это частный случай суммы обратных величин любой геометрической прогрессии, где первый член и общее отношение являются положительными целыми числами. Если первый член равен $a$ , а общее отношение равно $r,$ то сумма равна $⁠$ $г / а (р - 1) ⁠$ .

Ряд Кемпнера представляет собой сумму обратных величин всех положительных целых чисел, не содержащих цифру «9» в основании 10. $В$ отличие от гармонического ряда , который не исключает эти числа, этот ряд сходится, в частности, к приблизительно $22,9207$ .

Палиндромное число — это число, которое остается тем же, если его цифры поменять местами. Сумма обратных чисел палиндромных чисел сходится примерно к $3,3703$ .

Число пентатопа — это число в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля , начиная с пятичленной строки $1 4 6 4 1.$ Сумма обратных чисел чисел пентатопа равна ⁠4/ 3 ⁠ .

Последовательность Сильвестра — это целочисленная последовательность , в которой каждый член последовательности является произведением предыдущих членов плюс один. Первые несколько членов последовательности — $2, 3, 7, 43, 1807.$ Сумма обратных чисел в последовательности Сильвестра равна $1$ .

Дзета -функция Римана $ζ (s)$ является функцией комплексной переменной $s$ , которая аналитически продолжает сумму бесконечного ряда до аналитической функции на всей комплексной плоскости, за исключением s = 1, где $ζ$ $($ $s$ $)$ имеет полюс. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда действительная часть $s$ больше $1$ . $\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~$

Сумма обратных величин всех чисел Ферма (чисел вида ) (последовательность A051158 в OEIS ) является иррациональной . $\ 2^{(2^{n})}+1\$

Сумма обратных величин пронических чисел (произведений двух последовательных целых чисел) (исключая $0$ ) равна $1$ (см. Телескопический ряд ).

Разница между и приближается к натуральному логарифму по мере увеличения . $H_{k(n+1)}$ $H_{k}$ $n+1$ $к$

Расходящиеся ряды

n - $я$ частичная сумма гармонического ряда , которая является суммой обратных величин первых $n$ положительных целых чисел, расходится при $n$ , стремящемся к бесконечности, хотя и чрезвычайно медленно: Сумма первых $1043$ члена меньше $100.$ Разница между кумулятивной суммой инатуральным логарифмомn $сходится$ кконстанте Эйлера–Маскерони, обычно обозначаемой как ,которая приблизительно равна $0,5772$ . $\ \гамма \ ,$

Сумма обратных величин простых чисел расходится.

Сильная форма теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях подразумевает, что сумма обратных величин простых чисел вида $4$ $n$ $+ 3$ расходится.
Аналогично, сумма обратных величин простых чисел вида $4$ $n$ $+ 1$ расходится. Из теоремы Ферма о суммах двух квадратов следует, что сумма обратных величин чисел вида где $a$ и $b$ — неотрицательные целые числа, не равные оба $0$ , расходится, с повторениями или без них. $\ а^{2}+b^{2}\ ,$

Если $a (k)$ — любой возрастающий ряд положительных целых чисел со свойством, что существует $N$ такое, что $a (k + 1) - a (k) < N$ для всех $k$ , то сумма обратных величин $⁠$ $1 / а (к) ⁠$ расходится.

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях гласит, что если сумма обратных величин членов множества $A$ положительных целых чисел расходится, то $A$ содержит арифметические прогрессии любой длины, какой бы большой она ни была. По состоянию на 2020 год ^{[обновлять]}гипотеза остаётся недоказанной.

Смотрите также

Ссылки

^ Если здесь не указано иное, ссылки указаны в связанных статьях.
^ Борсос, Берталан; Ковач, Аттила; Тиханьи, Норберт (1 сентября 2022 г.). «Точные верхняя и нижняя границы обратной суммы простых чисел Прота». Журнал Рамануджана . 59 (1): 181–198. дои : 10.1007/s11139-021-00536-2. hdl : 10831/83020 . S2CID 246024152.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Совершенная сила». MathWorld .
^ Голомб, SW (1970). «Мощные числа». American Mathematical Monthly . 77 (8): 848–852. doi :10.2307/2317020. JSTOR 2317020.