Суперконформная алгебра

Алгебра, объединяющая суперсимметрию и конформную симметрию

В теоретической физике суперконформная алгебра — это градуированная алгебра Ли или супералгебра , объединяющая конформную алгебру и суперсимметрию . В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформную группу (в двух евклидовых измерениях супералгебра Ли не порождает никакой супергруппы Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2

Конформная группа -мерного пространства есть , а ее алгебра Ли есть . Суперконформная алгебра есть супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор и чьи нечетные генераторы преобразуются в спинорные представления . Учитывая классификацию Каца конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только для малых значений и . (Возможно, неполный) список есть ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$ ${\displaystyle SO(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(p+1,q+1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)}$в 3+0D благодаря ; ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(N|4)}$в 2+1D благодаря ; ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)}$в 4+0D благодаря ; ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|N)}$в 3+1D благодаря ; ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4|N)}$в 2+2D благодаря ; ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)}$
• реальные формы в пяти измерениях ${\displaystyle F(4)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)}$в 5+1D, благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления отображаются друг на друга внешними автоморфизмами. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )}$

Суперконформная алгебра в 3+1D

Согласно ^{[1] [2]} суперконформная алгебра с суперсимметриями в 3+1 измерениях задается бозонными генераторами , , , , U(1) R-симметрией , SU(N) R-симметрией и фермионными генераторами , , и . Здесь обозначают пространственно-временные индексы; левосторонние спинорные индексы Вейля; правосторонние спинорные индексы Вейля; и внутренние индексы R-симметрии. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{j}^{i}}$ ${\displaystyle Q^{\alpha i}}$ ${\displaystyle {\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle S_{i}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}}$ ${\displaystyle \mu ,\nu ,\rho ,\dots }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\dots }$ ${\displaystyle {\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots }$ ${\displaystyle i,j,\dots }$

Суперскобки Ли бозонной конформной алгебры задаются формулой

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }}$

${\displaystyle [M_{\mu \nu },D]=0}$

${\displaystyle [D,P_{\rho }]=-P_{\rho }}$

${\displaystyle [D,K_{\rho }]=+K_{\rho }}$

${\displaystyle [P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D}$

${\displaystyle [K_{n},K_{m}]=0}$

${\displaystyle [P_{n},P_{m}]=0}$

где η — метрика Минковского ; тогда как для фермионных генераторов метрики следующие:

${\displaystyle \left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }}$

${\displaystyle \left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0}$

${\displaystyle \left\{Q,S\right\}=}$

${\displaystyle \left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0}$

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

${\displaystyle [A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0}$

${\displaystyle [T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0}$

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

${\displaystyle [A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [A,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}}$

${\displaystyle [T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}}$

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются следующим образом:

${\displaystyle [D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q}$

${\displaystyle [D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}}$

${\displaystyle [D,S]={\frac {1}{2}}S}$

${\displaystyle [D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}}$

${\displaystyle [P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0}$

${\displaystyle [K,S]=[K,{\overline {S}}]=0}$

Суперконформная алгебра в 2D

Существуют две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях: алгебра Невё–Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например, суперконформная алгебра N = 2 .

Смотрите также

• Конформная симметрия
• Супер алгебра Вирасоро
• Суперсимметрическая алгебра

Ссылки

1. West, PC (2002). «Введение в жесткие суперсимметричные теории». Конфайнмент, дуальность и непертурбативные аспекты КХД . Серия NATO Science: B. Том 368. С. 453–476. arXiv : hep-th/9805055 . doi :10.1007/0-306-47056-X_17. ISBN 0-306-45826-8. S2CID  119413468.
2. Гейтс, С. Дж.; Грисару, Маркус Т.; Рочек, М.; Сигел , В. (1983). «Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии». Frontiers in Physics . 58 : 1–548. arXiv : hep-th/0108200 . Bibcode : 2001hep.th....8200G.