Суперчастное отношение

Отношение двух последовательных целых чисел

Только диатонический полутон на C: ⁠16/15⁠ = ⁠15 + 1/15⁠ = 1 + ⁠1/15⁠ Играть ^ⓘ

В математике суперчастное отношение , также называемое суперчастным числом или эпиморическим отношением , представляет собой отношение двух последовательных целых чисел .

Более конкретно, соотношение принимает вид:

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}}$ где n — положительное целое число .

Таким образом:

Суперчастное число — это когда большее число содержит меньшее число, с которым оно сравнивается, и в то же время одну его часть. Например, когда сравниваются 3 и 2, они содержат 2, плюс 3 имеет еще 1, которая является половиной двух. Когда сравниваются 3 и 4, они оба содержат 3, а 4 имеет еще 1, которая является третьей частью 3. Опять же, когда сравниваются 5 и 4, они содержат число 4, а 5 имеет еще 1, которая является четвертой частью числа 4, и т. д.

—  Труп (2006), ^[1]

О суперчастных отношениях писал Никомах в своем трактате «Введение в арифметику» . Хотя эти числа имеют применение в современной чистой математике , области исследований, которые чаще всего ссылаются на суперчастные отношения под этим названием, — это теория музыки ^[2] и история математики ^[3] .

Математические свойства

Как заметил Леонард Эйлер , суперчастные числа (включая также кратные суперчастные отношения, числа, образованные путем добавления целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби ) являются в точности рациональными числами , простая непрерывная дробь которых заканчивается после двух членов. Числа, непрерывная дробь которых заканчивается одним членом, являются целыми числами, в то время как остальные числа, с тремя или более членами в их непрерывных дробях, являются суперчастными . ^[4]

Продукт Уоллиса

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

представляет иррациональное число π несколькими способами как произведение суперчастных отношений и их обратных . Также возможно преобразовать формулу Лейбница для π в произведение Эйлера суперчастных отношений, в котором каждый член имеет простое число в качестве числителя и ближайшее кратное четырем в качестве знаменателя: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

В теории графов суперчастные числа (или, скорее, их обратные числа, 1/2, 2/3, 3/4 и т. д.) возникают посредством теоремы Эрдёша–Стоуна как возможные значения верхней плотности бесконечного графа. ^[6]

Другие приложения

При изучении гармонии многие музыкальные интервалы могут быть выражены как суперчастное отношение (например, из-за эквивалентности октавы девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как суперчастное отношение, 9/8). Действительно, то, было ли отношение суперчастным, было самым важным критерием в формулировке музыкальной гармонии Птолемея. [ ^7] В этом приложении теорема Штёрмера может быть использована для перечисления всех возможных суперчастных чисел для заданного предела ; то есть всех отношений этого типа, в которых и числитель, и знаменатель являются гладкими числами . ^[2]

Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Соотношения сторон 4:3 и 3:2 распространены в цифровой фотографии , ^[8] а соотношения сторон 7:6 и 5:4 используются в среднеформатной и крупноформатной фотографии соответственно. ^[9]

Названия соотношений и соответствующие интервалы

Каждая пара соседних положительных целых чисел представляет собой суперчастное отношение, и аналогично каждая пара соседних гармоник в гармоническом ряду (музыка) представляет собой суперчастное отношение. Многие отдельные суперчастные отношения имеют свои собственные названия, либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:

Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского sesqui- «один и полтора» (от semis «половина» и -que «и»), описывающего соотношение 3:2.

Примечания

1. Древнее имя

Цитаты

1. Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, том 1 , стр. III.6.12, № 7. ISBN  978-1-4116-6523-1 .
2. Halsey, GD; Hewitt, Edwin (1972). «Больше о суперчастных отношениях в музыке». American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096–1100. doi :10.2307/2317424. JSTOR  2317424. MR  0313189.
3. Робсон, Элеанор ; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики , Oxford University Press, ISBN 9780191607448. На стр. 123–124 книги обсуждается классификация отношений по различным типам, включая суперчастные отношения, и традиция, по которой эта классификация передавалась от Никомаха к Боэцию, Кампану, Орезму и Клавию.
4. Леонард Эйлер; переведено на английский язык Майрой Ф. Уайман и Боствиком Ф. Уайманом (1985), «Эссе о непрерывных дробях» (PDF) , Математическая теория систем , 18 : 295–328, doi : 10.1007/bf01699475, hdl : 1811/32133 , S2CID  126941824{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ). См. в частности стр. 304.
5. Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань уважения трехсотлетию, World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267.
6. Эрдёш, П.; Стоун , А. Х. (1946). «О структуре линейных графов». Бюллетень Американского математического общества . 52 (12): 1087–1091. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08715-7 .
7. Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Настройка и темперация: исторический обзор, Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN 9780486434063Главным принципом настройки Птолемея было использование сверхчастной пропорции..
8. Энг, Том (2011), Основы цифровой фотографии, Penguin, стр. 107, ISBN 9780756685263. Энг также отмечает соотношение сторон 16:9 ( широкоэкранное ) как еще один распространенный выбор для цифровой фотографии, но в отличие от 4:3 и 3:2 это соотношение не является сверхспецифичным.
9. Соотношение сторон среднего формата 7:6 является одним из нескольких соотношений, возможных при использовании среднеформатной пленки 120 , а соотношение 5:4 достигается двумя распространенными размерами для крупноформатной пленки, 4×5 дюймов и 8×10 дюймов. См., например, Шауб, Джордж (1999), Как фотографировать природу в черно-белом цвете, Серия «Как фотографировать», том 9, Stackpole Books, стр. 43, ISBN 9780811724500.

Внешние ссылки

• Суперчастные числа, применяемые для построения пентатонических гамм Дэвидом Кэнрайтом.
• De Institutione Arithmetica, liber II, Аниций Манлий Северин Боэций