Гиперкомпьютер

Модели вычислений

Гипервычисление или супер-Тьюринг-вычисление — это набор гипотетических моделей вычислений , которые могут предоставлять результаты, невычислимые по Тьюрингу . Например, машина, которая могла бы решить проблему остановки, была бы гиперкомпьютером; также была бы и та, которая могла бы правильно оценить каждое утверждение в арифметике Пеано .

Тезис Чёрча –Тьюринга утверждает, что любая «вычислимая» функция, которую может вычислить математик с помощью ручки и бумаги, используя конечный набор простых алгоритмов, может быть вычислена машиной Тьюринга. Гиперкомпьютеры вычисляют функции, которые машина Тьюринга не может и которые, следовательно, невычислимы в смысле Чёрча–Тьюринга.

Технически выходные данные случайной машины Тьюринга невычислимы; однако большая часть литературы по гиперкомпьютерам фокусируется на вычислении детерминированных, а не случайных, невычислимых функций.

История

Вычислительная модель, выходящая за рамки машин Тьюринга, была представлена ​​Аланом Тьюрингом в его докторской диссертации 1938 года « Системы логики, основанные на ординалах» . ^[1] В этой статье исследовались математические системы, в которых был доступен оракул , который мог вычислять одну произвольную (нерекурсивную) функцию от натуральных чисел до натуральных чисел. Он использовал это устройство, чтобы доказать, что даже в этих более мощных системах неразрешимость все еще присутствует. Машины-оракулы Тьюринга являются математическими абстракциями и физически не реализуемы. ^[2]

Государственное пространство

В некотором смысле большинство функций невычислимы: существуют вычислимые функции, но существует несчетное число ( ) возможных супер-тьюринговых функций. ^[3] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Модели

Модели гиперкомпьютеров варьируются от полезных, но, вероятно, нереализуемых (например, оригинальные машины-оракулы Тьюринга), до менее полезных генераторов случайных функций, которые более правдоподобно «реализуемы» (например, случайная машина Тьюринга ).

Невычислимые входные данные или компоненты черного ящика

Система, которой предоставлено знание невычислимой, оракульной константы Чайтина (число с бесконечной последовательностью цифр, кодирующих решение проблемы остановки) в качестве входных данных, может решить большое количество полезных неразрешимых проблем; система, которой предоставлен невычислимым генератором случайных чисел в качестве входных данных, может создавать случайные невычислимые функции, но, как правило, не считается способной осмысленно решать «полезные» невычислимые функции, такие как проблема остановки. Существует неограниченное количество различных типов мыслимых гиперкомпьютеров, включая:

• Первоначальные машины-оракулы Тьюринга, описанные Тьюрингом в 1939 году.
• Реальный компьютер (своего рода идеализированный аналоговый компьютер ) может выполнять гипервычисления ^[4] , если физика допускает общие вещественные переменные (а не только вычислимые вещественные ), и они в некотором роде «пригодны» для полезных (а не случайных) вычислений. Это может потребовать довольно странных законов физики (например, измеримой физической константы с пророческим значением, такой как константа Чайтина ), и потребует возможности измерять вещественное физическое значение с произвольной точностью, хотя стандартная физика делает такие измерения с произвольной точностью теоретически неосуществимыми. ^[5]
  • Аналогично, нейронная сеть, в весовую функцию которой каким-то образом точно встроена константа Хайтина, сможет решить проблему остановки ^[6], но при этом столкнется с теми же физическими трудностями, что и другие модели гипервычислений, основанные на реальных вычислениях.
• Некоторые «нечеткие машины Тьюринга», основанные на нечеткой логике, могут, по определению, случайно решить проблему остановки, но только потому, что их способность решать проблему остановки косвенно предполагается в спецификации машины; это, как правило, рассматривается как «ошибка» в исходной спецификации машин. ^{[7] [8]}
  • Аналогично, предлагаемая модель, известная как честный недетерминизм , может случайно допустить оракульное вычисление невычислимых функций, поскольку некоторые такие системы, по определению, обладают оракульной способностью идентифицировать отклоняемые входные данные, которые «несправедливо» заставят подсистему работать вечно. ^{[9] [10]}
• Дмитрий Тарановский предложил финитную модель традиционно нефинитных ветвей анализа, построенную вокруг машины Тьюринга, оснащенной быстро возрастающей функцией в качестве ее оракула. ​​С помощью этой и более сложных моделей он смог дать интерпретацию арифметики второго порядка. Эти модели требуют невычислимого ввода, такого как физический процесс генерации событий, где интервал между событиями растет с невычислимо большой скоростью. ^[11]
  • Аналогично, одна неортодоксальная интерпретация модели неограниченного недетерминизма утверждает, по определению, что продолжительность времени, необходимая для урегулирования «Актора», принципиально непознаваема, и поэтому в рамках модели нельзя доказать, что это не займет неисчислимо большой период времени. ^[12]

Модели «бесконечных вычислительных шагов»

Для корректной работы некоторые вычисления, выполняемые представленными ниже машинами, требуют буквально бесконечного, а не просто неограниченного, но конечного физического пространства и ресурсов; в отличие от этого, в случае с машиной Тьюринга любое данное вычисление, которое останавливается, потребует только конечного физического пространства и ресурсов.

Машина Тьюринга, которая может выполнить бесконечно много шагов за конечное время, подвиг, известный как сверхзадача . Просто быть способным выполнить неограниченное количество шагов недостаточно. Одной из математических моделей является машина Зенона (вдохновленная парадоксом Зенона ). Машина Зенона выполняет свой первый шаг вычислений за (скажем) 1 минуту, второй шаг за ½ минуты, третий шаг за ¼ минуты и т. д. Суммируя 1 + ½ + ¼ + ... ( геометрический ряд ), мы видим, что машина выполняет бесконечно много шагов в общей сложности за 2 минуты. Согласно Орону Шагриру , машины Зенона вводят физические парадоксы, и их состояние логически не определено за пределами одностороннего открытого периода [0, 2), таким образом, не определено ровно через 2 минуты после начала вычисления. ^[13]

Кажется естественным, что возможность путешествий во времени (существование замкнутых времениподобных кривых (CTC)) делает гипервычисления возможными сами по себе. Однако это не так, поскольку CTC не обеспечивает (сам по себе) неограниченный объем памяти, который потребовался бы для бесконечного вычисления. Тем не менее, существуют пространства-времена, в которых область CTC может использоваться для релятивистских гипервычислений. ^[14] Согласно статье 1992 года, ^[15] компьютер, работающий в пространстве-времени Маламента-Хогарта или на орбите вокруг вращающейся черной дыры ^[16], теоретически может выполнять не-Тьюринговские вычисления для наблюдателя внутри черной дыры. ^{[17] [18]} Доступ к CTC может позволить быстрое решение PSPACE-полных задач, класс сложности, который, хотя и разрешим по Тьюрингу, обычно считается вычислительно неразрешимым. ^{[19] [20]}

Квантовые модели

Некоторые ученые предполагают, что квантово-механическая система, которая каким-то образом использует бесконечную суперпозицию состояний, может вычислить невычислимую функцию . ^[21] Это невозможно с использованием стандартной кубит -модели квантового компьютера , поскольку доказано, что обычный квантовый компьютер является PSPACE-приводимым (квантовый компьютер, работающий за полиномиальное время, может быть смоделирован классическим компьютером, работающим в полиномиальном пространстве ). ^[22]

«В конечном итоге правильные» системы

Некоторые физически реализуемые системы в конечном итоге всегда сходятся к правильному ответу, но у них есть недостаток: они часто выдают неверный ответ и придерживаются его в течение неисчислимо большого периода времени, прежде чем в конечном итоге вернуться и исправить ошибку.

В середине 1960-х годов Э. Марк Голд и Хилари Патнэм независимо друг от друга предложили модели индуктивного вывода («ограниченные рекурсивные функционалы» ^[23] и «предикаты проб и ошибок» ^[24] соответственно). Эти модели позволяют «изучать в пределе» некоторые нерекурсивные наборы чисел или языков (включая все рекурсивно перечислимые наборы языков); тогда как, по определению, только рекурсивные наборы чисел или языков могут быть идентифицированы машиной Тьюринга. Хотя машина стабилизируется до правильного ответа на любом обучаемом наборе за некоторое конечное время, она может идентифицировать его как правильный, только если он рекурсивный; в противном случае правильность устанавливается только путем бесконечного запуска машины и отметки того, что она никогда не пересматривает свой ответ. Патнэм определил эту новую интерпретацию как класс «эмпирических» предикатов, заявив: «если мы всегда «утверждаем», что последний сгенерированный ответ является правильным, мы сделаем конечное число ошибок, но в конечном итоге получим правильный ответ. (Однако следует отметить, что даже если мы дошли до правильного ответа (конца конечной последовательности), мы никогда не уверены , что у нас правильный ответ.)» ^[24] В статье Л. К. Шуберта 1974 года «Итерированная предельная рекурсия и проблема минимизации программ» ^[25] изучались эффекты итерации ограничивающей процедуры; это позволяет вычислить любой арифметический предикат. Шуберт писал: «Интуитивно итерированная предельная идентификация может рассматриваться как индуктивный вывод более высокого порядка, выполняемый коллективно постоянно растущим сообществом машин индуктивного вывода более низкого порядка».

Последовательность символов вычислима в пределе, если существует конечная, возможно, не останавливающаяся программа на универсальной машине Тьюринга , которая инкрементно выводит каждый символ последовательности. Это включает в себя диадическое расширение π и любого другого вычислимого вещественного числа , но по-прежнему исключает все невычислимые вещественные числа. «Монотонные машины Тьюринга», традиционно используемые в теории размера описания , не могут редактировать свои предыдущие выводы; обобщенные машины Тьюринга, как определено Юргеном Шмидхубером , могут. Он определяет конструктивно описываемые последовательности символов как те, которые имеют конечную, не останавливающуюся программу, работающую на обобщенной машине Тьюринга, такую, что любой выходной символ в конечном итоге сходится; то есть он больше не изменяется после некоторого конечного начального интервала времени. Из-за ограничений, впервые продемонстрированных Куртом Гёделем (1931), может быть невозможно предсказать само время сходимости с помощью останавливающейся программы, в противном случае проблема остановки могла бы быть решена. Шмидхубер ( ^{[26] [27]} ) использует этот подход для определения множества формально описываемых или конструктивно вычислимых вселенных или конструктивных теорий всего . Обобщенные машины Тьюринга могут в конечном итоге сходиться к правильному решению проблемы остановки путем оценки последовательности Шпеккера .

Анализ возможностей

Многие предложения по гипервычислениям представляют собой альтернативные способы чтения оракула или функции совета, встроенной в классическую машину. Другие позволяют получить доступ к некоторому более высокому уровню арифметической иерархии . Например, суперзадачные машины Тьюринга при обычных предположениях могли бы вычислить любой предикат в степени таблицы истинности, содержащей или . Ограничение рекурсии, напротив, может вычислить любой предикат или функцию в соответствующей степени Тьюринга , которая, как известно, равна . Голд далее показал, что ограничение частичной рекурсии позволило бы вычислить именно предикаты . ${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{2}^{0}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$

Критика

Мартин Дэвис в своих работах о гипервычислениях ^{[34] [35]} называет эту тему «мифом» и предлагает контраргументы к физической реализуемости гипервычислений. Что касается ее теории, он выступает против утверждений, что это новая область, основанная в 1990-х годах. Эта точка зрения опирается на историю теории вычислимости (степени неразрешимости, вычислимость над функциями, действительными числами и ординалами), как также упоминалось выше. В своем аргументе он делает замечание, что все гипервычисления — это не более чем: « если невычислимые входы разрешены, то невычислимые выходы достижимы » . ^[36]

Смотрите также

• Цифровая физика
• Пределы вычислений

Ссылки

1. Тьюринг, AM (1939). «Системы логики, основанные на ординалах†». Труды Лондонского математического общества . 45 : 161–228. doi :10.1112/plms/s2-45.1.161. hdl : 21.11116/0000-0001-91CE-3 .
2. «Предположим, что нам предоставлены некоторые неопределенные средства решения задач теории чисел; своего рода оракул. Мы не будем углубляться в природу этого оракула, за исключением того, что он не может быть машиной» (Undecidable, стр. 167, перепечатка статьи Тьюринга Systems of Logic Based On Ordinals )
3. J. Cabessa; HT Siegelmann (апрель 2012 г.). «Вычислительная мощность интерактивных рекуррентных нейронных сетей» (PDF) . Neural Computation . 24 (4): 996–1019. CiteSeerX 10.1.1.411.7540 . doi :10.1162/neco_a_00263. PMID  22295978. S2CID  5826757. 
4. Арнольд Шёнхаге , «О мощности машин с произвольным доступом», в Трудах Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (ICALP) , страницы 520–529, 1979. Источник цитирования: Скотт Ааронсон , «NP-полные проблемы и физическая реальность»[1], стр. 12
5. Эндрю Ходжес. «Профессора и мозговые штурмы». Домашняя страница Алана Тьюринга . Получено 23 сентября 2011 г.
6. HT Siegelmann; ED Sontag (1994). «Аналоговые вычисления с помощью нейронных сетей». Теоретическая информатика . 131 (2): 331–360. doi : 10.1016/0304-3975(94)90178-3 .
7. Biacino, L.; Gerla, G. (2002). «Нечеткая логика, непрерывность и эффективность». Архив для Mathematical Logic . 41 (7): 643–667. CiteSeerX 10.1.1.2.8029 . doi :10.1007/s001530100128. ISSN  0933-5846. S2CID  12513452. 
8. Wiedermann, Jiří (2004). "Характеристика супер-Тьюринговой вычислительной мощности и эффективности классических нечетких машин Тьюринга". Теоретическая информатика . 317 (1–3): 61–69. doi : 10.1016/j.tcs.2003.12.004 . Их (способность решать проблему остановки) обусловлена ​​их критерием приемлемости, в котором способность решать проблему остановки косвенно предполагается.
9. Эдит Спаан; Лин Торенвлит; Питер ван Эмде Боас (1989). «Недетерминизм, справедливость и фундаментальная аналогия». Бюллетень EATCS . 37 : 186–193.
10. Орд, Тоби (2006). «Множественные формы гипервычислений». Прикладная математика и вычисления . 178 : 143–153. doi :10.1016/j.amc.2005.09.076.
11. Dmytro Taranovsky (17 июля 2005 г.). "Finitism and Hypercomputation" . Получено 26 апреля 2011 г. .
12. Хьюитт, Карл. «Что такое приверженность». Физическая, организационная и социальная (пересмотренная), координация, организации, институты и нормы в агентских системах II: AAMAS (2006).
13. Эти модели были независимо разработаны многими разными авторами, включая Германа Вейля (1927). Философия математики и природы .; модель обсуждается в Shagrir, O. (июнь 2004 г.). "Суперзадачи, ускорение машин Тьюринга и невычислимость". Теоретическая информатика . 317 (1–3): 105–114. doi : 10.1016/j.tcs.2003.12.007 ., Petrus H. Potgieter (июль 2006 г.). «Зеноновы машины и гипервычисления». Теоретическая информатика . 358 (1): 23–33. arXiv : cs/0412022 . doi :10.1016/j.tcs.2005.11.040. S2CID  6749770.и Винсент К. Мюллер (2011). «О возможностях гиперкомпьютерных сверхзадач». Minds and Machines . 21 (1): 83–96. CiteSeerX 10.1.1.225.3696 . doi :10.1007/s11023-011-9222-6. S2CID  253434. 
14. Андрека, Хайнал; Немети, Иштван; Секели, Гергеи (2012). «Замкнутые времяподобные кривые в релятивистских вычислениях». Параллельная обработка писем . 22 (3). arXiv : 1105.0047 . дои : 10.1142/S0129626412400105. S2CID  16816151.
15. Хогарт, Марк Л. (1992). «Позволяет ли общая теория относительности наблюдателю увидеть вечность за конечное время?». Foundations of Physics Letters . 5 (2): 173–181. Bibcode : 1992FoPhL...5..173H. doi : 10.1007/BF00682813. S2CID  120917288.
16. Иштван Немети; Хайнал Андрека (2006). «Могут ли общие релятивистские компьютеры преодолеть барьер Тьюринга?». Логические подходы к вычислительным барьерам, Вторая конференция по вычислимости в Европе, CiE 2006, Суонси, Великобритания, 30 июня — 5 июля 2006 г. Труды . Конспект лекций по информатике. Том 3988. Springer. doi :10.1007/11780342. ISBN 978-3-540-35466-6.
17. Этези, Габор; Немети, Иштван (2002). «Нетьюринговские вычисления через пространство-время Маламента-Хогарта». Международный журнал теоретической физики . 41 (2): 341–370. arXiv : gr-qc/0104023 . doi :10.1023/A:1014019225365. S2CID  17081866.
18. Эрман, Джон; Нортон, Джон Д. (1993). «Вечность — это день: сверхзадачи в пространствах-временах Питовски и Маламента-Хогарта». Философия науки . 60 : 22–42. doi :10.1086/289716. S2CID  122764068.
19. Брун, Тодд А. (2003). «Компьютеры с замкнутыми времениподобными кривыми могут решать сложные проблемы». Найдено. Phys. Lett . 16 (3): 245–253. arXiv : gr-qc/0209061 . doi :10.1023/A:1025967225931. S2CID  16136314.
20. С. Ааронсон и Дж. Уотрус. Замкнутые времениподобные кривые делают квантовые и классические вычисления эквивалентными [2]
21. Были некоторые заявления на этот счет; см. Tien Kieu (2003). "Quantum Algorithm for the Hilbert's Tenth Problem" . Int. J. Theor. Phys . 42 (7): 1461–1478. arXiv : quant-ph/0110136 . doi :10.1023/A:1025780028846. S2CID  6634980.или М. Циглер (2005). «Вычислительная мощность бесконечного квантового параллелизма». Международный журнал теоретической физики . 44 (11): 2059–2071. arXiv : quant-ph/0410141 . Bibcode :2005IJTP...44.2059Z. doi :10.1007/s10773-005-8984-0. S2CID  9879859.и последующую литературу. Для возражения см. Warren D. Smith (2006). "Три контрпримера, опровергающих план Кью для "квантового адиабатического гипервычисления"; и некоторые невычислимые квантово-механические задачи". Applied Mathematics and Computation . 178 (1): 184–193. doi :10.1016/j.amc.2005.09.078..
22. Бернстайн, Итан; Вазирани, Умеш (1997). «Квантовая теория сложности». Журнал SIAM по вычислениям . 26 (5): 1411–1473. doi :10.1137/S0097539796300921.
23. EM Gold (1965). «Ограничительная рекурсия». Журнал символической логики . 30 (1): 28–48. doi :10.2307/2270580. JSTOR  2270580. S2CID  33811657., Э. Марк Голд (1967). «Языковая идентификация в пределе». Информация и управление . 10 (5): 447–474. doi : 10.1016/S0019-9958(67)91165-5 .
24. Хилари Патнэм (1965). «Предикаты проб и ошибок и решение проблемы Мостовского». Журнал символической логики . 30 (1): 49–57. doi :10.2307/2270581. JSTOR  2270581. S2CID  44655062.
25. LK Schubert (июль 1974 г.). «Итерированная предельная рекурсия и проблема минимизации программ». Журнал ACM . 21 (3): 436–445. doi : 10.1145/321832.321841 . S2CID  2071951.
26. Шмидхубер, Юрген (2000). «Алгоритмические теории всего». arXiv : quant-ph/0011122 .
27. J. Schmidhuber (2002). «Иерархии обобщенных сложностей Колмогорова и неперечислимые универсальные меры, вычислимые в пределе». International Journal of Foundations of Computer Science . 13 (4): 587–612. arXiv : quant-ph/0011122 . Bibcode : 2000quant.ph.11122S. doi : 10.1142/S0129054102001291.
28. Petrus H. Potgieter (июль 2006 г.). «Зеноновы машины и гипервычисления». Теоретическая информатика . 358 (1): 23–33. arXiv : cs/0412022 . doi :10.1016/j.tcs.2005.11.040. S2CID  6749770.
29. Ленор Блюм , Фелипе Кукер, Майкл Шуб и Стивен Смейл (1998). Сложность и реальные вычисления . Springer. ISBN 978-0-387-98281-6.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
30. PD Welch (2008). «Степень вычислений в пространстве-времени Маламента-Хогарта». British Journal for the Philosophy of Science . 59 (4): 659–674. arXiv : gr-qc/0609035 . doi :10.1093/bjps/axn031.
31. HT Siegelmann (апрель 1995 г.). «Вычисления за пределами Тьюринга» (PDF) . Science . 268 (5210): 545–548. Bibcode : 1995Sci...268..545S. doi : 10.1126/science.268.5210.545. PMID  17756722. S2CID  17495161.
32. Хава Зигельманн ; Эдуардо Зонтаг (1994). «Аналоговые вычисления с помощью нейронных сетей». Теоретическая информатика . 131 (2): 331–360. doi : 10.1016/0304-3975(94)90178-3 .
33. PD Welch (2009). "Характеристики моделей дискретных трансфинитных машин Тьюринга: времена остановки, времена стабилизации и теоремы нормальной формы". Теоретическая информатика . 410 (4–5): 426–442. doi : 10.1016/j.tcs.2008.09.050 .
34. Дэвис, Мартин (2006). «Почему нет такой дисциплины, как гипервычисления». Прикладная математика и вычисления . 178 (1): 4–7. doi :10.1016/j.amc.2005.09.066.
35. Дэвис, Мартин (2004). «Миф о гипервычислениях». Алан Тьюринг: жизнь и наследие великого мыслителя . Springer.
36. Мартин Дэвис (январь 2003 г.). «Миф о гипервычислениях». В Александре Шлапентох (ред.). Мини-семинар: Десятая проблема Гильберта, гипотеза Мазура и последовательности делимости (PDF) . Отчет МФО. Том. 3. Институт математических исследований Обервольфаха. п. 2.

Дальнейшее чтение

• Аун, Марио Антуан (2016). «Достижения в трех моделях гипервычислений» (PDF) . Электронный журнал теоретической физики . 13 (36): 169–182. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-02-06 . Получено 2023-07-28 .
• Бургин, М.С. (1983). «Индуктивные машины Тьюринга». Известия Академии наук СССР . 270 (6): 1289–1293.
• Burgin, Mark (2005). Суперрекурсивные алгоритмы . Монографии по информатике. Springer. ISBN 0-387-95569-0.
• Кокшотт, П.; Михельсон, Г. (2007). «Существуют ли новые модели вычислений? Ответ Вегнеру и Эбербаху». The Computer Journal . doi :10.1093/comjnl/bxl062.
• Купер, СБ; Одифредди, П. (2003). "Невычислимость в природе" (PDF) . В Купер, СБ; Гончаров, С.С. (ред.). Вычислимость и модели: перспективы Востока и Запада . Нью-Йорк, Бостон, Дордрехт, Лондон, Москва: Издательство Пленум. стр. 137–160. Архивировано из оригинала (PDF) 24-07-2011 . Получено 16-06-2011 .
• Купер, СБ (2006). «Определимость как гипервычислительный эффект». Прикладная математика и вычисления . 178 : 72–82. CiteSeerX  10.1.1.65.4088 . doi :10.1016/j.amc.2005.09.072. S2CID  1487739.
• Copeland, J. (2002). «Гипервычисления» (PDF) . Minds and Machines . 12 (4): 461–502. doi :10.1023/A:1021105915386. S2CID  218585685. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-14.
• Хагар, А.; Королев, А. (2007). «Квантовое гипервычисление — шумиха или вычисление?*» (PDF) . Философия науки . 74 (3): 347–363. doi :10.1086/521969. S2CID  9857468.
• Орд, Тоби (2002). «Гипервычисления: Вычисления, превышающие возможности машины Тьюринга: обзорная статья о различных формах гипервычислений». arXiv : math/0209332 .
• Piccinini, Gualtiero (16 июня 2021 г.). «Вычисления в физических системах». Стэнфордская энциклопедия философии . Получено 31 июля 2023 г.
• Шарма, Ашиш (2022). «Вдохновленные природой алгоритмы с рандомизированной гипервычислительной перспективой». Информационные науки . 608 : 670–695. doi : 10.1016/j.ins.2022.05.020. S2CID  248881264.
• Стэннетт, Майк (1990). «X-машины и проблема остановки: построение супермашины Тьюринга». Формальные аспекты вычислений . 2 (1): 331–341. doi : 10.1007/BF01888233 . S2CID  7406983.
• Stannett, Mike (2006). «The case for hypercomputation» (PDF) . Applied Mathematics and Computation . 178 (1): 8–24. doi :10.1016/j.amc.2005.09.067. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04.
• Сиропулос, Апостолос (2008). Гипервычисления: вычисления за пределами барьера Чёрча-Тьюринга . Springer. ISBN 978-0-387-30886-9.