Сфериндер

Геометрический объект

Сфероид можно рассматривать как объем между двумя параллельными и равными твердыми 2- сферами ( 3-шарами) в 4-мерном пространстве, здесь стереографически спроецированный в 3D.

В четырехмерной геометрии сфериндер , или сферический цилиндр , или сферическая призма — это геометрический объект, определяемый как _{декартово} произведение 3- шара (или сплошной 2- _сферы ) радиусом r1 и отрезка прямой длиной 2r2 :

${\displaystyle D=\{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{1}^{2},\ w^{2}\leq r_{2}^{2}\}}$

Как и дуоцилиндр , он также аналогичен цилиндру в трехмерном пространстве, который является декартовым произведением диска на отрезок прямой .

Его можно увидеть в трехмерном пространстве с помощью стереографической проекции как две концентрические сферы, подобно тому, как тессеракт (кубическая призма) можно спроецировать как два концентрических куба, а круговой цилиндр можно спроецировать в двухмерном пространстве как две концентрические окружности.

Сферическая система координат

Можно определить «сферосистему» ​​координат ( r , θ , φ , w ) , состоящую из сферических координат с дополнительной координатой w . Это аналогично тому, как определяются цилиндрические координаты : r и φ являются полярными координатами с координатой высоты z . Сферосистемные координаты можно преобразовать в декартовы координаты с помощью формул , где r — радиус, θ — зенитный угол, φ — азимутальный угол, а w — высота. Декартовы координаты можно преобразовать в сферосистемные координаты с помощью формул Элемент гиперобъема для сферосистемных координат равен , который можно получить путем вычисления якобиана . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w,}$

Измерения

Гиперобъем

Для сфероида со сферическим основанием радиусом r и высотой h гиперобъем сфероида определяется выражением $${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h}$$

Объем поверхности

Объем поверхности сфероида, как и площадь поверхности цилиндра, состоит из трех частей:

• объем верхнего основания: ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• объем нижнего основания: ${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• объем боковой трехмерной поверхности: , который равен площади поверхности сферического основания, умноженной на высоту ${\textstyle 4\pi r^{2}h}$

Таким образом, общий объем поверхности равен

$${\displaystyle SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h}$$

Доказательство

Вышеприведенные формулы для гиперобъема и поверхностного объема можно доказать с помощью интегрирования. Гиперобъем произвольной 4D-области задается четверным интегралом $${\displaystyle H=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H}$$

Гиперобъем сфероида можно проинтегрировать по сфероидальным координатам. $${\displaystyle H_{\mathrm {spherinder} }=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w={\frac {4}{3}}\pi R^{3}h}$$

Связанные 4-многогранники

Соответствующая усеченная икосододекаэдрическая призма построена из двух усеченных икосододекаэдров, соединенных призмами , показанными здесь в стереографической проекции с некоторыми скрытыми призмами.

Сфероидер связан с однородным призматическим многогранником , который является декартовым произведением правильного или полуправильного многогранника и отрезка прямой . Существует восемнадцать выпуклых однородных призм, основанных на Платоновых и Архимедовах телах ( тетраэдрическая призма , усеченная тетраэдрическая призма , кубическая призма , кубооктаэдрическая призма , октаэдрическая призма , ромбокубооктаэдрическая призма , усеченная кубическая призма , усеченная октаэдрическая призма , усеченная кубооктаэдрическая призма , плосконосая кубическая призма , додекаэдрическая призма , икосододекаэдрическая призма , икосаэдрическая призма , усеченная додекаэдрическая призма , ромбоикосододекаэдрическая призма , усеченная икосаэдрическая призма , усеченная икосододекаэдрическая призма , плосконосая додекаэдрическая призма ), а также бесконечное семейство, основанное на антипризмах , и еще одно бесконечное семейство однородных дуопризм , которые являются произведениями двух правильных многоугольников .

Смотрите также

• тор Клиффорда

Ссылки

• The Fourth Dimension Simply Explained , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно онлайн: The Fourth Dimension Simply Explained — содержит описание дуопризм и дуоцилиндров (двойных цилиндров)
• Наглядное руководство по дополнительным измерениям: визуализация четвертого измерения, многогранников более высоких размерностей и криволинейных гиперповерхностей , Крис МакМаллен, 2008, ISBN  978-1438298924