stringtranslate.com

Сферический конический

Сферические конические сечения, нарисованные на сферической доске. Два конфокальных конических сечения синего и желтого цветов имеют общие фокусы F 1 и F 2 . Углы, образованные красными дугами большого круга, проведенными из фокусов через одно из пересечений конических сечений, демонстрируют свойство отражения сферических конических сечений. Три взаимно перпендикулярных конических центра и три линии симметрии зеленого цвета определяют сферический октаэдр, совмещенный с главными осями конического сечения.
Сетка на квадратном диэдре при обратной квинкунциальной проекции Пирса является конформной, за исключением четырех особых точек вокруг экватора, которые становятся фокусами сетки сферических коник.

В математике сферическая коника или сфероконика — это кривая на сфере , пересечение сферы с концентрическим эллиптическим конусом . Это сферический аналог конического сечения ( эллипса , параболы или гиперболы ) на плоскости, и, как и в плоском случае, сферическая коника может быть определена как геометрическое место точек, сумма или разность расстояний большой окружности которых до двух фокусов постоянна. [1] При взятии антиподальной точки в один фокус каждый сферический эллипс также является сферической гиперболой , и наоборот. Как пространственная кривая, сферическая коника является квартикой , хотя ее ортогональные проекции на три главные оси являются плоскими кониками. Подобно плоским коникам, сферические коники также удовлетворяют «свойству отражения»: дуги большой окружности из двух фокусов в любую точку на конике имеют касательную и нормаль к конике в этой точке в качестве своих биссектрис угла.

Многие теоремы о конических сечениях на плоскости распространяются на сферические конические сечения. Например, теорема Грейвса и теорема Айвори о конфокальных конических сечениях также могут быть доказаны на сфере; см. конфокальные конические сечения о плоских версиях. [2]

Так же, как длина дуги эллипса задается неполным эллиптическим интегралом второго рода, длина дуги сферического коника задается неполным эллиптическим интегралом третьего рода. [3]

Ортогональная система координат в евклидовом пространстве, основанная на концентрических сферах и квадратичных конусах, называется конической или сфероконической системой координат. При ограничении поверхностью сферы оставшиеся координаты являются конфокальными сферическими кониками. Иногда это называется эллиптической системой координат на сфере, по аналогии с плоской эллиптической системой координат . Такие координаты могут использоваться при вычислении конформных отображений со сферы на плоскость. [4]

Приложения

Решение задачи Кеплера в пространстве равномерной положительной кривизны представляет собой сферическую конику с потенциалом, пропорциональным котангенсу геодезического расстояния. [5]

Поскольку она сохраняет расстояния до пары указанных точек, двухточечная равнопромежуточная проекция отображает семейство софокусных коник на сфере на два семейства софокусных эллипсов и гипербол на плоскости. [6]

Если часть Земли моделируется как сферическая, например, с использованием соприкасающейся сферы в точке эллипсоида вращения, то гиперболы, используемые в гиперболической навигации (которая определяет положение на основе разницы во времени принимаемого сигнала от стационарных радиопередатчиков), представляют собой сферические конические сечения. [7]

Примечания

  1. ^ Фусс, Николас (1788). «De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae» [О некоторых свойствах эллипсов, описываемых на сферической поверхности]. Nova Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни). 3 : 90–99.
  2. ^ Stachel, Hellmuth ; Wallner, Johannes (2004). "Теорема Айвори в гиперболических пространствах" (PDF) . Сибирский математический журнал . 45 (4): 785–794.
  3. ^ Гудерманн, Кристоф (1835). «Integralia elliptica tertiae speciei Reducendi Methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit.sectionum conico–sphaericarum qudratura et rectification» [Более простой метод приведения эллиптических интегралов третьего рода, обеспечивающий простоту применения и удобные численные вычисления: Квадратура и ректификация конико-сферических сечений. Журнал Крелля . 14 : 169–181.
    Бут, Джеймс (1844). «IV. О выпрямлении и квадратуре сферического эллипса». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 25 (163): 18–38. doi :10.1080/14786444408644925.
  4. ^ Гюю, Эмиль (1887). «Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора» [Новая система проекции сферы: Обобщение проекции Меркатора]. Гидрографические Анналы . Сер. 2 (на французском языке). 9 :16–35.
    Адамс, Оскар Шерман (1925). Эллиптические функции, применяемые к конформным картам мира (PDF) . Типография правительства США. Специальное издание Береговой и геодезической службы США № 112.
  5. ^ Хиггс, Питер В. (1979). «Динамические симметрии в сферической геометрии I». Журнал физики A: Mathematical and General . 12 (3): 309–323. doi :10.1088/0305-4470/12/3/006.
    Козлов, Валерий Васильевич ; Харин, Александр О. (1992). «Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны». Небесная механика и динамическая астрономия . 54 (4): 393–399. doi :10.1007/BF00049149.
    Кариньена, Хосе Ф.; Раньяда, Мануэль Ф.; Сантандер, Мариано (2005). "Центральные потенциалы на пространствах постоянной кривизны: задача Кеплера на двумерной сфере S 2 и гиперболической плоскости H 2 ". Журнал математической физики . 46 (5): 052702. arXiv : math-ph/0504016 . doi :10.1063/1.1893214.
    Арнольд, Владимир ; Козлов, Валерий Васильевич ; Нейштадт, Анатолий И. (2007). Математические аспекты классической и небесной механики . doi :10.1007/978-3-540-48926-9.
    Диаку, Флорин (2013). «Проблема изогнутых N-тел: риски и выгоды» (PDF) . Mathematical Intelligencer . 35 (3): 24–33.
  6. ^ Кокс, Жак-Франсуа (1946). «Дважды равноотстоящая проекция». Бюллетень геодезии . 2 (1): 74–76. дои : 10.1007/bf02521618.
  7. ^ Разин, Шелдон (1967). «Явное (неитеративное) решение Лорана». Навигация . 14 (3): 265–269. doi :10.1002/j.2161-4296.1967.tb02208.x.
    Фрайеслебен, Ганс-Кристиан (1976). «Сферические гиперболы и эллипсы». Журнал навигации . 29 (2): 194–199. doi :10.1017/S0373463300030186.

Ссылки