В сферической геометрии сферическая луночка (или двуугольник ) — это область на сфере, ограниченная двумя половинами больших окружностей , которые встречаются в противоположных точках . [1] Это пример двуугольника , {2} θ , с двугранным углом θ. [2] Слово «лунка» происходит от латинского слова luna , обозначающего Луну.
Большие круги — это самые большие возможные круги (окружности) сферы ; каждый из них делит поверхность сферы на две равные половины. Два больших круга всегда пересекаются в двух полярно противоположных точках.
Распространенными примерами больших окружностей являются линии долготы ( меридианы ) на сфере, которые пересекаются на северном и южном полюсах.
Сферическая луночка имеет две плоскости симметрии. Она может быть разделена пополам на две луночки по половине угла или может быть разделена экваториальной линией на два правильных сферических треугольника .
Площадь поверхности сферической луночки равна 2θ R 2 , где R — радиус сферы, а θ — двугранный угол в радианах между двумя половинами больших окружностей.
Когда этот угол равен 2π радиан (360°) — т. е. когда вторая половина большого круга совершила полный оборот, а луночка между ними покрывает сферу как сферический моногон — формула площади для сферической луночки дает 4π R 2 , площадь поверхности сферы .
Осоэдр — это мозаика сферы с помощью луночек. Правильный n-угольный осоэдр, {2,n} имеет n равных луночек по π/ n радиан. N -осоэдр имеет диэдральную симметрию D n h , [ n ,2], (*22 n ) порядка 4 n . Каждая луночка в отдельности имеет циклическую симметрию C 2v , [2], (*22) порядка 4.
Каждый осоэдр можно разделить экваториальной биссектрисой на два равных сферических треугольника .
Видимая с Земли освещенная часть Луны — сферическая луна. Первая из двух пересекающихся больших окружностей — терминатор между освещенной солнцем половиной Луны и темной половиной. Вторая большая окружность — земной терминатор, отделяющий видимую с Земли половину от невидимой. Сферическая луна — освещенная форма полумесяца , видимая с Земли.
Луны можно определить и на сферах более высоких измерений.
В 4-мерном пространстве 3-сфера является обобщенной сферой. Она может содержать правильные двуугольники как {2} θ,φ , где θ и φ — два двугранных угла.
Например, правильный госотоп {2,p,q} имеет двуугольные грани, {2} 2π/p,2π/q , где его вершинная фигура является сферическим платоновым телом , {p,q}. Каждая вершина {p,q} определяет ребро в госотопе, а смежные пары этих ребер определяют двугранные грани. Или, более конкретно, правильный госотоп {2,4,3} имеет 2 вершины, 8 дуговых ребер 180° в кубе , {4,3}, вершинную фигуру между двумя вершинами, 12 двугранных граней, {2} π/4,π/3 , между парами смежных ребер, и 6 одногранных ячеек, {2,p} π/3 .