Сферический сектор

Пересечение сферы и конуса, исходящего из ее центра

Сферический сектор (синий)

Сферический сектор

В геометрии сферический сектор ^[1] , также известный как сферический конус ^[2] , представляет собой часть сферы или шара , определяемую конической границей с вершиной в центре сферы. Его можно описать как объединение сферической крышки и конуса , образованного центром сферы и основанием крышки . Это трехмерный аналог сектора круга .

Объем

Если радиус сферы обозначить как r , а высоту колпачка как h , то объем сферического сектора равен $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.}$$

Это также можно записать как где φ — половина угла конуса , т. е. φ — угол между краем колпачка и направлением к середине колпачка, если смотреть из центра сферы. Предельный случай — когда φ приближается к 180 градусам, что тогда описывает полную сферу. $${\displaystyle V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$

Высота h определяется по формуле $${\displaystyle h=r(1-\cos \varphi )\,.}$$

Объем V сектора связан с площадью A крышки соотношением: $${\displaystyle V={\frac {rA}{3}}\,.}$$

Область

Площадь криволинейной поверхности сферического сектора (на поверхности сферы, исключая поверхность конуса) равна $${\displaystyle A=2\pi rh\,.}$$

Это также где Ω — телесный угол сферического сектора в стерадианах , единица измерения телесного угла в системе СИ. Один стерадиан определяется как телесный угол, охватываемый площадью колпачка A = r ² . $${\displaystyle A=\Omega r^{2}}$$

Вывод

Объем можно вычислить путем интегрирования дифференциального элемента объема по объему сферического сектора, где интегралы были разделены, поскольку подынтегральное выражение можно разделить на произведение функций, каждая из которых имеет одну фиктивную переменную. $${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }$$ $${\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,}$$

Площадь может быть вычислена аналогичным образом путем интегрирования дифференциального сферического элемента площади по сферическому сектору, что дает где φ — наклон (или высота), а θ — азимут (вправо). Обратите внимание , что r — константа. Опять же, интегралы можно разделить. $${\displaystyle dA=r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta }$$ $${\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi \,d\phi \,d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi \,d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,}$$

Смотрите также

• Круговой сектор — аналогичная двумерная фигура.
• Сферический колпачок
• Сферический сегмент
• Сферический клин

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. "Сферический сектор". MathWorld .
2. Вайсштейн, Эрик В. "Сферический конус". MathWorld .