Сферичность

Схематическое изображение разницы в форме зерна. Показаны два параметра: сферичность (вертикальная) и округлость (горизонтальная).

Сферичность — это мера того, насколько близко форма объекта напоминает идеальную сферу . Например, сферичность шариков внутри шарикоподшипника определяет качество подшипника , например, нагрузку, которую он может выдерживать, или скорость, с которой он может вращаться без поломок. Сферичность — это конкретный пример меры компактности формы .

Сферичность применима в трех измерениях ; ее аналог в двух измерениях , такой как окружности поперечного сечения вдоль цилиндрического объекта, например вала , называется округлостью .

Определение

Определенная Уоделлом в 1935 году ^[1], сферичность объекта представляет собой отношение площади поверхности сферы с тем же объемом к площади поверхности объекта: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

где — объем объекта, а — площадь поверхности. Сферичность сферы равна единице по определению, и, согласно изопериметрическому неравенству , любая форма, не являющаяся сферой, будет иметь сферичность меньше 1. ${\displaystyle V_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}}$

Эллипсоидальные объекты

Сферичность сплющенного сфероида ( аналогичного форме планеты Земля ) равна: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},}$

где a и b — большая и малая полуоси соответственно.

Вывод

Хакон Уоделл определил сферичность как площадь поверхности сферы того же объема, что и частица, деленную на фактическую площадь поверхности частицы.

Сначала нам нужно записать площадь поверхности сферы, выраженную через объем измеряемого объекта, ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle V_{p}}$

${\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}}$

поэтому

${\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}$

следовательно, мы определяем как: ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}}$

Сферичность обычных объектов

Смотрите также

• Эквивалентный сферический диаметр
• Сглаживание
• Изопериметрическое отношение
• Округление (осадок)
• Округлость
• энергия Уиллмора

Ссылки

1. Уоделл, Хакон (1935). «Объем, форма и округлость частиц кварца». Журнал геологии . 43 (3): 250–280. Bibcode : 1935JG.....43..250W. doi : 10.1086/624298.

Внешние ссылки

• Морфология зерна: округлость, особенности поверхности и сферичность зерен