О схеме перенормировки оболочки

Схема перенормировки в квантовой теории поля

В квантовой теории поля , и особенно в квантовой электродинамике , теория взаимодействия приводит к бесконечным величинам, которые должны быть поглощены в процедуре перенормировки , чтобы иметь возможность предсказывать измеримые величины. Схема перенормировки может зависеть от типа рассматриваемых частиц. Для частиц, которые могут перемещаться на асимптотически большие расстояния, или для низкоэнергетических процессов, подходит схема on-shell , также известная как физическая схема. Если эти условия не выполняются, можно обратиться к другим схемам, таким как схема минимального вычитания (схема MS).

Фермионный пропагатор в теории взаимодействия

Знание различных пропагаторов является основой для расчета диаграмм Фейнмана , которые являются полезными инструментами для предсказания, например, результата экспериментов по рассеянию. В теории, где единственным полем является поле Дирака , пропагатор Фейнмана читается как

${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$

где — оператор упорядочения по времени , вакуум в невзаимодействующей теории, поле Дирака и его сопряженное поле Дирака, а левая часть уравнения — двухточечная корреляционная функция поля Дирака. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$

В новой теории поле Дирака может взаимодействовать с другим полем, например, с электромагнитным полем в квантовой электродинамике, а сила взаимодействия измеряется параметром, в случае КЭД это голый заряд электрона, . Общая форма пропагатора должна оставаться неизменной, что означает, что если теперь представляет вакуум во взаимодействующей теории, двухточечная корреляционная функция теперь будет иметь вид ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle |\Omega \rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$

Были введены две новые величины. Во-первых, перенормированная масса была определена как полюс в преобразовании Фурье пропагатора Фейнмана. Это основное предписание схемы перенормировки на оболочке (тогда нет необходимости вводить другие масштабы масс, как в схеме минимального вычитания). Величина представляет новую силу поля Дирака. Поскольку взаимодействие уменьшается до нуля, позволяя , эти новые параметры должны стремиться к значению, чтобы восстановить пропагатор свободного фермиона, а именно и . ${\displaystyle m_{r}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle e\rightarrow 0}$ ${\displaystyle m_{r}\rightarrow m}$ ${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$

Это означает, что и можно определить как ряд в , если этот параметр достаточно мал (в системе единиц, где , , где - постоянная тонкой структуры ). Таким образом, эти параметры можно выразить как ${\displaystyle m_{r}}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \hbar =c=1}$ ${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{2}=1+\delta _{2}}$

${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$

С другой стороны, модификация пропагатора может быть вычислена до определенного порядка с использованием диаграмм Фейнмана. Эти модификации суммируются в собственной энергии фермиона ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \Sigma (p)}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$

Эти поправки часто расходятся, поскольку содержат петли . Определив два выражения корреляционной функции до определенного порядка в , можно определить контрчлены, и они будут поглощать расходящиеся вклады поправок в фермионный пропагатор. Таким образом, перенормированные величины, такие как , останутся конечными и будут величинами, измеренными в экспериментах. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{r}}$

Фотонный пропагатор

Так же, как это было сделано с пропагатором фермиона, форма пропагатора фотона, вдохновленная полем свободного фотона, будет сравниваться с пропагатором фотона, вычисленным до определенного порядка в теории взаимодействия. Отмечается собственная энергия фотона и метрический тензор (здесь принимается соглашение +---) ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \Pi (q^{2})}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$

Поведение контрчлена не зависит от импульса входящего фотона . Чтобы исправить это, используется поведение КЭД на больших расстояниях (что должно помочь восстановить классическую электродинамику ), т.е. когда : ${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$

Таким образом, контрчлен фиксируется со значением . ${\displaystyle \delta _{3}}$ ${\displaystyle \Pi (0)}$

Вершинная функция

Аналогичное рассуждение с использованием вершинной функции приводит к перенормировке электрического заряда . Эта перенормировка и фиксация членов перенормировки выполняется с использованием того, что известно из классической электродинамики в больших пространственных масштабах. Это приводит к значению контрчлена , которое фактически равно из-за тождества Уорда–Такахаши . Именно это вычисление учитывает аномальный магнитный дипольный момент фермионов. ${\displaystyle e_{r}}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$

Изменение масштаба лагранжиана QED

Мы рассмотрели некоторые факторы пропорциональности (например, ), которые были определены из формы пропагатора. Однако их также можно определить из лагранжиана КЭД, что будет сделано в этом разделе, и эти определения эквивалентны. Лагранжиан, описывающий физику квантовой электродинамики, имеет вид ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

где — тензор напряженности поля , — спинор Дирака (релятивистский эквивалент волновой функции ) , а электромагнитный 4-потенциал . Параметрами теории являются , и . Эти величины оказываются бесконечными из-за петлевых поправок (см. ниже). Можно определить перенормированные величины (которые будут конечными и наблюдаемыми): ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$

Их называют контрчленами (возможны и другие определения). Предполагается, что они малы по параметру . Лагранжиан теперь читается в терминах перенормированных величин (в первом порядке по контрчленам): ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$

Рецепт перенормировки — это набор правил, описывающих, какая часть расхождений должна быть в перенормированных величинах, а какая часть — в контрчленах. Рецепт часто основан на теории свободных полей, то есть на поведении полей и когда они не взаимодействуют (что соответствует удалению члена в лагранжиане). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

Ссылки

• М. Пескин; Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля . Чтение: Эддисон-Уизли.