Схемно-теоретическое пересечение

В алгебраической геометрии схемно -теоретическое пересечение замкнутых подсхем X , Y схемы W есть , послойное произведение замкнутых погружений . Оно обозначается как . ${\displaystyle X\times _{W}Y}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

Локально W задается как для некоторого кольца R и X , Y как для некоторых идеалов I , J. Таким образом, локально пересечение задается как ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

Здесь мы использовали (для этого тождества см. тензорное произведение модулей#Примеры .) ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$

Пример : Пусть — проективное многообразие с однородным координатным кольцом S/I , где S — кольцо многочленов. Если — гиперповерхность, определяемая некоторым однородным многочленом f в S , то ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

Если f линейна (deg = 1), то она называется гиперплоским сечением . См. также: Теорема Бертини .

Теперь, схемно-теоретическое пересечение может не быть правильным пересечением, скажем, с точки зрения теории пересечений . Например, ^[1] пусть = аффинное 4-пространство и X , Y замкнутые подсхемы, определяемые идеалами и . Поскольку X является объединением двух плоскостей, каждая из которых пересекается с Y в начале координат с кратностью один, по линейности кратности пересечения мы ожидаем, что X и Y пересекаются в начале координат с кратностью два. С другой стороны, можно увидеть, что схемно-теоретическое пересечение состоит из начала координат с кратностью три. То есть схемно-теоретическая кратность пересечения может отличаться от кратности теории пересечений, последняя задается формулой Серра Tor . Разрешение этого несоответствия является одной из отправных точек для производной алгебраической геометрии , которая направлена ​​на введение понятия производного пересечения. ${\displaystyle W=\operatorname {Spec} (k[x,y,z,w])}$ ${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$ ${\displaystyle (x-z,y-w)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

Правильное пересечение

Пусть X — регулярная схема, а V , W — замкнутые целочисленные подсхемы. Тогда неприводимая компонента P схемы называется собственной, если выполняется неравенство (по Серру) : ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

является равенством. ^[2] Пересечение является правильным, если каждый его неприводимый компонент является правильным (в частности, пустое пересечение считается правильным). Говорят, что два алгебраических цикла пересекаются правильно, если многообразия в циклах пересекаются правильно. ${\displaystyle V\cap W}$

Например, два дивизора (циклы коразмерности один) на гладком многообразии пересекаются правильно тогда и только тогда, когда они не имеют общих неприводимых компонент. Лемма перемещения Чжоу (на гладком многообразии) гласит, что пересечение можно сделать правильным, заменив дивизор подходящим линейно эквивалентным дивизором (ср. теорему Клеймана ).

Неравенство Серра выше может не выполняться в общем случае для нерегулярной схемы окружения. Например, ^[3] пусть . Тогда имеет коразмерность один, а имеет коразмерность три. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$ ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle V\cap W}$

Некоторые авторы, такие как Блох, определяют правильное пересечение, не предполагая, что X является регулярным: в обозначениях, приведенных выше, компонент P является правильным, если

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).}$

Смотрите также

• полное пересечение
• Гомоморфизм Гайсина

Ссылки

1. Хартшорн 1977, Приложение A: Пример 1.1.1.
2. Фултон 1998, § 20.4.
3. Фултон 1998, Пример 7.1.6.

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157