Теорема Карлесона

Результат 1966 года в математическом анализе

Теорема Карлесона — фундаментальный результат в математическом анализе, устанавливающий поточечную ( по Лебегу ) сходимость почти всюду рядов Фурье функций L2 , доказанную Леннартом Карлесоном (1966). Это название  также часто используется для обозначения расширения результата Ричарда Ханта  (1968) на ^{функции} Lp для ^p ∈ (1, ∞] (также известного как теорема Карлесона–Ханта ) и аналогичных результатов для поточечной почти всюду сходимости интегралов Фурье , эквивалентность которых можно показать методами переноса.

Формулировка теоремы

Результат, расширенный Хантом, можно формально сформулировать следующим образом:

Пусть f — периодическая функция L ^p для некоторого p ∈ (1, ∞] с коэффициентами Фурье . Тогда для почти всех  x . ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e^{inx}=f(x)}$$

Аналогичный результат для интегралов Фурье:

Пусть f ∈ L ^p ( R ) для некоторого p ∈ (1, 2] имеет преобразование Фурье . Тогда для почти каждого x ∈ R . ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =f(x)}$$

История

Фундаментальный вопрос о рядах Фурье, заданный самим Фурье в начале XIX века, заключается в том, сходится ли ряд Фурье непрерывной функции поточечно к этой функции.

Немного усилив предположение о непрерывности, можно легко показать, что ряд Фурье сходится всюду. Например, если функция имеет ограниченную вариацию , то ее ряд Фурье сходится всюду к локальному среднему функции. В частности, если функция непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду. Это доказал Дирихле, который выразил уверенность, что вскоре сможет распространить свой результат на все непрерывные функции. Другой способ получить сходимость всюду — изменить метод суммирования. Например, теорема Фейера показывает, что если заменить обычное суммирование суммированием по Чезаро , то ряд Фурье любой непрерывной функции равномерно сходится к этой функции. Далее, легко показать, что ряд Фурье любой функции L ² сходится к ней в норме L ² .

После результата Дирихле несколько экспертов, включая Дирихле, Римана, Вейерштрасса и Дедекинда, заявили о своей вере в то, что ряд Фурье любой непрерывной функции будет сходиться всюду. Это было опровергнуто Полем дю Буа-Реймоном , который в 1876 году показал, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке .

Сходимость почти всюду рядов Фурье для функций L ² была постулирована Н. Н. Лузиным  (1915), и эта проблема была известна как гипотеза Лузина (вплоть до ее доказательства Карлесоном (1966)). Колмогоров (1923) показал, что аналог результата Карлесона для L ¹ ложен, найдя такую ​​функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду (немного улучшенную в 1926 году до расходящейся всюду). До результата Карлесона наиболее известная оценка для частичных сумм s _n ряда Фурье функции из L ^p была Другими словами, функция s _n (x) все еще может расти до бесконечности в любой заданной точке x, если учитывать все больше и больше членов ряда Фурье, хотя рост должен быть довольно медленным (медленнее, чем логарифм n в малой степени). Этот результат был доказан Колмогоровым–Селиверстовым–Плеснером для p = 2 , Г. Х. Харди для p = 1 и Литтлвудом–Пэли для p > 1 (Зигмунд 2002). Этот результат не улучшался в течение нескольких десятилетий, что привело некоторых экспертов к подозрению, что он был наилучшим из возможных и что гипотеза Лузина была ложной. Контрпример Колмогорова в L ¹ был неограниченным в любом интервале, но считалось, что это лишь вопрос времени, когда будет найден непрерывный контрпример. Карлесон сказал в интервью Raussen & Skau (2007), что он начал с попытки найти непрерывный контрпример и в какой-то момент подумал, что у него есть метод, который его построит, но в конце концов понял, что его подход не может работать. Затем он попытался вместо этого доказать гипотезу Лузина, поскольку неудача его контрпримера убедила его, что она, вероятно, верна. $${\displaystyle s_{n}(x)=o(\log(n)^{1/p}){\text{ almost everywhere}}.}$$

Оригинальное доказательство Карлесона исключительно трудно читать, и хотя несколько авторов упростили аргумент, до сих пор нет простых доказательств его теоремы. Изложения оригинальной статьи Карлесона (1966) включают Кахане (1995), Моццочи (1971), Йорсбо и Мейлбро (1982) и Ариаса де Рейны (2002). Чарльз Фефферман  (1973) опубликовал новое доказательство расширения Ханта, которое проводилось путем ограничения максимального оператора . Это, в свою очередь, вдохновило Майкла Лейси и Кристофа Тиле (2000) на значительно упрощенное доказательство результата L 2 ^, более подробно изложенное в Лейси (2004). Книги Фремлин (2003) и Графакос (2014) также дают доказательства теоремы Карлесона.

Кацнельсон (1966) показал, что для любого множества меры 0 существует непрерывная периодическая функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках множества (и, возможно, в других местах). В сочетании с теоремой Карлесона это показывает, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится во всех точках заданного множества действительных чисел тогда и только тогда, когда множество имеет меру 0.

Расширение теоремы Карлесона на L ^p для p > 1 было заявлено как «довольно очевидное» расширение случая p = 2 в статье Карлесона и было доказано Хантом (1968). Результат Карлесона был дополнительно улучшен Шёлином (1971) до пространства L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ ( L ) и Антоновым (1996) до пространства L log ₊ ( L )log ₊ log ₊ log ₊ ( L ) . (Здесь log ₊ ( L ) есть log( L ), если L > 1 и 0 в противном случае, и если φ является функцией, то φ ( L ) обозначает пространство функций f таких, что φ (| f ( x ) |) интегрируема.)

Конягин (2000) улучшил контрпример Колмогорова, найдя функции с всюду расходящимися рядами Фурье в пространстве, немного большем, чем L log ₊ ( L ) ^1/2 . Можно спросить, существует ли в каком-то смысле наибольшее естественное пространство функций, ряды Фурье которых сходятся почти всюду. Простейшим кандидатом на такое пространство, которое согласуется с результатами Антонова и Конягина, является L log ₊ ( L ) .

Расширение теоремы Карлесона на ряды Фурье и интегралы по нескольким переменным усложняется, поскольку существует множество различных способов суммирования коэффициентов; например, можно суммировать по увеличивающимся шарам или увеличивающимся прямоугольникам. Сходимость прямоугольных частичных сумм (и, конечно, общих многоугольных частичных сумм) следует из одномерного случая, но проблема сферического суммирования все еще открыта для L ² .

Оператор Карлесона

Оператор Карлесона C — это нелинейный оператор, определяемый формулой $${\displaystyle Cf(x)=\sup _{N}\left|\int _{-N}^{N}{\hat {f}}(y)e^{2\pi ixy}\,dy\right|}$$

Сравнительно легко показать, что теорема Карлесона–Ханта следует из ограниченности оператора Карлесона из L ^p ( R ) в себя при 1 < p < ∞ . Однако доказать, что он ограничен, сложно, и это было фактически то, что доказал Карлесон.

Смотрите также

• Сходимость ряда Фурье

Ссылки

• Антонов, Н. Ю. (1996), «Сходимость рядов Фурье», East Journal on Approximations , 2 (2): 187–196, MR  1407066
• Ариас де Рейна, Хуан (2002), Точечная сходимость рядов Фурье , Lecture Notes in Mathematics, т. 1785, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b83346, ISBN 978-3-540-43270-8, МР  1906800
• Карлесон, Леннарт (1966), «О сходимости и росте частичных сумм рядов Фурье», Acta Mathematica , 116 (1): 135–157, doi : 10.1007/BF02392815 , MR  0199631
• Фефферман, Чарльз (1973), «Поточечная сходимость рядов Фурье», Annals of Mathematics , вторая серия, 98 (3): 551–571, ​​doi :10.2307/1970917, JSTOR  1970917, MR  0340926
• Фремлин, Дэвид Х. (2003), Теория меры, т. 2, Торрес Фремлин, Колчестер, ISBN 978-0-9538129-2-9, MR  2462280, архивировано из оригинала 2010-11-01 , извлечено 2010-09-09
• Графакос, Лукас (2014). Современный анализ Фурье . Тексты для аспирантов по математике. Том. 250 (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4939-1230-8. ISBN 978-1-4939-1229-2. МР  3243741.
• Хант, Ричард А. (1968), «О сходимости рядов Фурье», Orthogonal Expansions and their Continuous Analogues Proc. Conf., Эдвардсвилл, Иллинойс, 1967 , Карбондейл, Иллинойс: Southern Illinois Univ. Press, стр. 235–255, MR  0238019
• Jørsboe, Ole G.; Mejlbro, Leif (1982), Теорема Карлесона-Ханта о рядах Фурье , Lecture Notes in Mathematics, т. 911, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0094072, ISBN 978-3-540-11198-6, МР  0653477
• Кахане, Жан-Пьер (1995), "Sommes partielles des séries de Fourier (d'après L. Carleson)", Séminaire Bourbaki , vol. 9, Париж: Société Mathématique de France , стр. 491–507, MR  1610981.
• Кацнельсон, Ицхак (1966), «Sur les ансамбли расхождения тригонометрических серий», Studia Mathematica , 26 (3): 301–304, doi : 10.4064/sm-26-3-305-306 , MR  0199632
• Колмогоров, Андрей Николаевич (1923), «Серия Фурье – Лебега, расходящаяся presque partout», Fundamenta Mathematicae , 4 : 324–328, doi : 10.4064/fm-4-1-324-328
• Конягин С.В. (2000), "О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье", Российская академия наук. Математический сборник , 191 (1): 103–126, Бибкод : 2000SbMat.191...97K, doi : 10.1070/sm2000v191n01abeh000449, MR  1753494, S2CID  250745433
• Лейси, Майкл Т. (2004), «Теорема Карлесона: доказательство, дополнения, вариации», Publicacions Matemàtiques , 48 ​​(2): 251–307, arXiv : math/0307008 , doi : 10.5565/publmat_48204_01, MR  2091007, S2CID  16121272
• Лейси, Майкл; Тиле, Кристоф (2000), «Доказательство ограниченности оператора Карлесона», Mathematical Research Letters , 7 (4): 361–370, doi : 10.4310/mrl.2000.v7.n4.a1 , MR  1783613
• Лузин, Н.Н. (1915), Интеграл и тригонометрические ряды , Москва-Ленинград{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )(Диссертация; также: Собрание сочинений, т. 1, М., 1953, с. 48–212)
• Mozzochi, Charles J. (1971), О поточечной сходимости рядов Фурье , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 199, т. 199, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0061167, ISBN 978-3-540-05475-7, МР  0445205«Эта монография представляет собой подробное и по сути самостоятельный анализ работ Карлесона и Ханта».
• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2007), «Интервью с лауреатом премии Абеля Леннартом Карлесоном» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 54 (2): 223–229, MR  2285126
• Сьёлин, Пер (1971), «Сходимость почти всюду некоторых сингулярных интегралов и кратных рядов Фурье», Arkiv för Matematik , 9 (1–2): 65–90, Бибкод : 1971ArM.....9...65S, дои : 10.1007/BF02383638 , MR  0336222
• Теляковский, С.А. (2001) [1994], "Теорема Карлесона", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Зигмунд, А. (2002) [1935], Тригонометрические ряды. Том I, II , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-89053-3, г-н  1963498