Конвергентный ряд

Математический ряд с конечной суммой

В математике ряд — это сумма членов бесконечной последовательности чисел. Точнее, бесконечная последовательность определяет ряд S , который обозначается ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

n-я частичная сумма Sn представляет _собой сумму первых n членов последовательности; то есть,

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Ряд сходится (или сходится ) тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм стремится к пределу ; это означает, что при добавлении одного за другим в порядке, заданном индексами , получаются частичные суммы, которые становятся все ближе и ближе к заданному числу. Точнее, ряд сходится тогда и только тогда, когда существует число такое, что для любого сколь угодно малого положительного числа существует (достаточно большое) целое число такое, что для всех , ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}$

Если ряд сходится, то число (обязательно уникальное) называется суммой ряда . ${\displaystyle \ell }$

Те же обозначения

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

используется для ряда и, если он сходится, для его суммы. Это соглашение аналогично тому, которое используется для сложения: a + b обозначает операцию сложения a и b , а также результат этого сложения , который называется суммой a и b .

Ряд, не сходящийся, называется расходящимся или расходящимся.

Примеры сходящихся и расходящихся рядов

• Обратные целые положительные числа образуют расходящийся ряд ( гармонический ряд ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• Чередование знаков обратных чисел положительных целых чисел дает сходящийся ряд ( чередующийся гармонический ряд ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• Обратные числа простых чисел образуют расходящийся ряд (поэтому набор простых чисел « большой »; см. Расхождение суммы обратных чисел простых чисел ):

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• Обратные треугольные числа образуют сходящийся ряд:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• Обратные факториалы образуют сходящийся ряд (см. e ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.}$

• Обратные квадратные числа образуют сходящийся ряд ( Базельская проблема ):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$

• Обратные степени двойки образуют сходящийся ряд (поэтому набор степеней 2 « маленький »):

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$

• Обратные степени любого n>1 образуют сходящийся ряд:

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.}$

• Чередование знаков обратных степеней двойки также дает сходящийся ряд:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.}$

• Чередование знаков обратных степеней любого n>1 дает сходящийся ряд:

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}-{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n+1}.}$

• Обратные числа Фибоначчи образуют сходящийся ряд (см. ψ ):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .}$

Тесты сходимости

Существует ряд методов определения того, сходится или расходится ряд .

Если можно доказать, что синий ряд сходится, то и меньший ряд должен сходиться. Напротив, если доказано, что красный ряд расходится, то он тоже должен расходиться. ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma a_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma b_{n}}$

Сравнительный тест . Члены последовательностисравниваются с членами другой последовательности. Если для всех n ,, исходится, то сходится и ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Однако если для всех n , , и расходится, то тоже ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Тест на соотношение . Предположим, что для всехn не равно нулю. Предположим, что существуеттакое, что ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$

Если r < 1, то ряд сходится абсолютно. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, тест на соотношение не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

Корневой тест или n- ный корневой тест . Предположим, что члены рассматриваемой последовательности неотрицательны . Определите r следующим образом:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

где «lim sup» обозначает верхний предел (возможно, ∞; если предел существует, это то же значение).

Если r < 1, то ряд сходится. Если r > 1, то ряд расходится. Если r = 1, проверка корня не дает результатов, и ряд может сходиться или расходиться.

И тест отношения, и тест на корень основаны на сравнении с геометрическим рядом и поэтому работают в схожих ситуациях. Фактически, если тест отношения работает (это означает, что предел существует и не равен 1), то и корневой тест тоже работает; обратное, однако, неверно. Таким образом, корневой тест более применим, но с практической точки зрения предел часто бывает трудно вычислить для часто встречающихся типов рядов.

Интегральный тест . Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Пусть– положительная и монотонно убывающая функция . Если ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$

то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Предельный сравнительный тест . Еслии пределсуществует и не равен нулю, тосходится тогда и только тогда, когда сходится. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

Попеременный серийный тест . Также известный как критерий Лейбница , тест знакопеременного ряда утверждает, что для знакопеременного ряда вида, еслион монотонно убывает и имеет предел 0 на бесконечности, то ряд сходится. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$

Тест на конденсацию Коши . Если- положительная монотонно убывающая последовательность, то сходится тогда и только тогда, когдасходится. ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$

тест Дирихле

тест Абеля

Условная и абсолютная сходимость

Для любой последовательности , для всех n . Поэтому, ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}$ ${\displaystyle a_{n}\leq \left|a_{n}\right|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|.}$

Это значит, что если сходится, то сходится и (но не наоборот). ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Если ряд сходится, то он сходится абсолютно . Ряд Маклорена показательной функции абсолютно сходится для любого комплексного значения переменной. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

Если ряд сходится, но ряд расходится, то ряд условно сходящийся . Ряд Маклорена функции логарифма условно сходится при x = 1 . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \ln(1+x)}$

Теорема о рядах Римана утверждает, что если ряд сходится условно, то можно переставить члены ряда таким образом, чтобы ряд сходился к любому значению или даже расходился.

Равномерная сходимость

Пусть – последовательность функций. Говорят, что ряд сходится равномерно к f , если последовательность частичных сумм, определяемая формулой ${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

сходится равномерно к f .

Существует аналог критерия сравнения бесконечных рядов функций, называемый М-критерием Вейерштрасса .

Критерий сходимости Коши

Критерий сходимости Коши утверждает, что ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм является последовательностью Коши . Это означает, что для каждого существует целое положительное число такое, что для всех имеем ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq m\geq N}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon .}$

Это эквивалентно

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(\sup _{n>m}\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|\right)=0.}$

Смотрите также

• Нормальная сходимость
• Список математических рядов

Внешние ссылки

• «Серия», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик (2005). Теорема о рядах Римана. Проверено 16 мая 2005 г.