Счетно генерируемое пространство

В математике топологическое пространство называется счётно порождённым , если топология его определяется счётными множествами аналогично тому, как топология секвенциального пространства (или пространства Фреше ) определяется сходящимися последовательностями. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Счетно порожденные пространства — это именно пространства, имеющие счетную тесноту — отсюда и названиетакже используется счетно плотный .

Определение

Топологическое пространство называется ${\displaystyle X}$счетно порождено, еслидля каждого подмножествазамкнуто ввсякий раз, когда для каждого счетногоподпространствамножествазамкнуто в. Эквивалентно,счетно порождено тогда и только тогда, когда замыкание любогоравно объединению замыканий всех счетных подмножеств ${\displaystyle V\subseteq X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\cap U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A.}$

Расчетная герметичность вентилятора

Топологическое пространство имеет ${\displaystyle X}$счетная плотность веера , если для каждой точкии каждой последовательностиподмножеств пространстватаких, чтосуществует конечное множествотаких, что ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$ ${\displaystyle B_{1}\subseteq A_{1},B_{2}\subseteq A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x\in {\overline {{\textstyle \bigcup \limits _{n}}\,B_{n}}}={\overline {B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots }}.}$

Топологическое пространство имеет ${\displaystyle X}$счетная сильная плотность веера, если для каждой точкии каждой последовательностиподмножеств пространства,таких чтосуществуют точки,такие чтоКаждое сильное пространство Фреше–Урысона имеет сильную счетную плотность веера. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$ ${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x\in {\overline {\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}}.}$

Характеристики

Частное счетно - порожденного пространства снова счетно-порождено. Аналогично, топологическая сумма счетно-порожденных пространств счетно-порождена. Таким образом, счетно-порожденные пространства образуют корефлективную подкатегорию категории топологических пространств . Они являются корефлективной оболочкой всех счетных пространств.

Любое подпространство счетно порожденного пространства снова счетно порождено.

Примеры

Каждое последовательное пространство (в частности, каждое метризуемое пространство ) счетно порождено.

Пример пространства, которое является счетно порожденным, но не последовательным, можно получить, например, как подпространство пространства Аренса–Форта .

Смотрите также

• Конечно-порожденное пространство  – топология, в которой пересечение любого семейства открытых множеств открыто.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Локально замкнутое подмножество
• Плотность (топология)  – Функция, возвращающая кардинальные числа Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления. Плотность – это кардинальная функция, связанная со счетно порожденными пространствами и их обобщениями.

Ссылки

• Херлих, Хорст (1968). Топологическая рефлексия и основная рефлексия . Конспект лекций по математике. 78. Берлин: Шпрингер .

Внешние ссылки

• Глоссарий определений из общей топологии [1]
• https://web.archive.org/web/20040917084107/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/density/pages/slides/sleziak/paper.pdf