Счетное множество

Математическое множество, которое можно перечислить

В математике множество является счетным, если оно либо конечно , либо его можно поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел . ^[a] Эквивалентно, множество является счетным , если существует инъективная функция из него в натуральные числа; это означает, что каждый элемент множества может быть сопоставлен уникальному натуральному числу или что элементы множества могут быть подсчитаны по одному, хотя подсчет может никогда не закончиться из-за бесконечного числа элементов.

В более технических терминах, предполагая аксиому счетного выбора , множество является счетным, если его мощность (количество элементов множества) не больше, чем у натуральных чисел. Счетное множество, которое не является конечным, называется счетно бесконечным .

Эта концепция приписывается Георгу Кантору , который доказал существование несчетных множеств , то есть множеств, которые не являются счетными; например, множество действительных чисел .

Примечание по терминологии

Хотя термины «счетный» и «счетно бесконечный», как они определены здесь, довольно распространены, терминология не универсальна. ^[1] Альтернативный стиль использует счетный для обозначения того, что здесь называется счетным бесконечным, и самое большее счетный для обозначения того, что здесь называется счетным. ^{[2] [3]}

Термины перечислимый ^[4] и счетный ^{[5] [6]} также могут использоваться, например, для обозначения счетного и счетно бесконечного соответственно ^[7] , определения различаются, и необходимо проявлять осторожность, учитывая разницу с рекурсивно перечислимым . ^[8]

Определение

Множество является счетным, если: ${\displaystyle S}$

• Его мощность меньше или равна ( алеф-нуль ), мощности множества натуральных чисел . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Существует инъективная функция из в . ^{[10] [11]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$пусто или существует сюръективная функция из в . ^[11] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$
• Существует биективное отображение между и подмножеством . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$либо конечен ( ), либо счетно бесконечен. ^[5] ${\displaystyle |S|<\aleph _{0}}$

Все эти определения эквивалентны.

Множество является счетно бесконечным, если: ${\displaystyle S}$

• Его мощность равна точно . ^[9] ${\displaystyle |S|}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• Между и существует инъективное и сюръективное (и, следовательно, биективное ) отображение . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle S}$имеет однозначное соответствие с . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Элементы из можно расположить в бесконечной последовательности , где отличается от для и каждый элемент из перечислен. ^{[14] [15]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$

Множество несчетно , если оно не счетно, т.е. его мощность больше . ^[9] ${\displaystyle \aleph _{0}}$

История

В 1874 году в своей первой статье по теории множеств Кантор доказал, что множество действительных чисел несчетно, тем самым показав, что не все бесконечные множества счетны. ^[16] В 1878 году он использовал взаимно-однозначные соответствия для определения и сравнения мощностей. ^[17] В 1883 году он расширил натуральные числа своими бесконечными ординалами и использовал множества ординалов для получения бесконечности множеств, имеющих различные бесконечные мощности. ^[18]

Введение

Множество — это совокупность элементов , и может быть описано многими способами. Один из способов — просто перечислить все его элементы; например, множество, состоящее из целых чисел 3, 4 и 5, может быть обозначено , называемой формой списка. ^[19] Однако это эффективно только для небольших множеств; для больших множеств это будет отнимать много времени и подвержено ошибкам. Вместо перечисления каждого отдельного элемента иногда используется многоточие («...») для представления многих элементов между начальным элементом и конечным элементом в множестве, если автор полагает, что читатель может легко догадаться, что представляет ...; например, предположительно обозначает множество целых чисел от 1 до 100. Однако даже в этом случае все еще возможно перечислить все элементы, поскольку количество элементов в множестве конечно. Если мы пронумеруем элементы множества 1, 2 и так далее, до , это дает нам обычное определение «множеств размера ». ${\displaystyle \{3,4,5\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,\dots ,100\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Биективное отображение целых чисел в четные числа

Некоторые множества бесконечны ; эти множества имеют более элементов, где — любое целое число, которое можно указать. (Независимо от того, насколько велико указанное целое число , например , бесконечные множества имеют более элементов.) Например, множество натуральных чисел, обозначаемое как , ^[a] имеет бесконечно много элементов, и мы не можем использовать никакое натуральное число для указания его размера. Может показаться естественным разделить множества на разные классы: объединить все множества, содержащие один элемент; объединить все множества, содержащие два элемента; ...; наконец, объединить все бесконечные множества и считать, что они имеют одинаковый размер. Эта точка зрения хорошо работает для счетно бесконечных множеств и была преобладающим предположением до работы Георга Кантора. Например, существует бесконечно много нечетных целых чисел, бесконечно много четных целых чисел, а также бесконечно много целых чисел в целом. Мы можем считать, что все эти множества имеют одинаковый «размер», потому что мы можем организовать все таким образом, что для каждого целого числа будет свое четное целое число: или, в более общем смысле, (см. рисунок). Что мы здесь сделали, так это организовали целые числа и четные целые числа во взаимно однозначное соответствие (или биекцию ), которая является функцией , которая отображает два множества таким образом, что каждый элемент каждого множества соответствует одному элементу в другом множестве. Это математическое понятие «размера», мощности, заключается в том, что два множества имеют одинаковый размер тогда и только тогда, когда между ними есть биекция. Мы называем все множества, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с целыми числами, счетно бесконечными и говорим, что они имеют мощность . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10^{1000}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}$ $${\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }$$ ${\displaystyle n\rightarrow 2n}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Георг Кантор показал, что не все бесконечные множества являются счетно бесконечными. Например, действительные числа не могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами (неотрицательными целыми числами). Множество действительных чисел имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел, и называется несчетным.

Формальный обзор

По определению множество является счетным, если существует биекция между и подмножеством натуральных чисел . Например, определите соответствие Поскольку каждый элемент из сопряжен ровно с одним элементом из , и наоборот, это определяет биекцию и показывает, что является счетным. Аналогично мы можем показать, что все конечные множества являются счетными. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$ $${\displaystyle a\leftrightarrow 1,\ b\leftrightarrow 2,\ c\leftrightarrow 3}$$ ${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle S}$

Что касается случая бесконечных множеств, множество является счетно бесконечным, если существует биекция между и всеми из . В качестве примеров рассмотрим множества , множество положительных целых чисел , и , множество четных целых чисел. Мы можем показать, что эти множества являются счетно бесконечными, показав биекцию натуральным числам. Этого можно добиться с помощью присваиваний и , так что Каждое счетно бесконечное множество является счетным, и каждое бесконечное счетное множество является счетно бесконечным. Более того, любое подмножество натуральных чисел является счетным, и в более общем случае: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow n+1}$ ${\displaystyle n\leftrightarrow 2n}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}}$$

Теорема  —  Подмножество счетного множества счетно. ^[20]

Множество всех упорядоченных пар натуральных чисел ( декартово произведение двух множеств натуральных чисел) счетно бесконечно, в чем можно убедиться, пройдя по пути, подобному показанному на рисунке: ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

Функция спаривания Кантора присваивает одно натуральное число каждой паре натуральных чисел.

Результирующее отображение происходит следующим образом:

$${\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }$$Это отображение охватывает все такие упорядоченные пары.

Эта форма треугольного отображения рекурсивно обобщается на - кортежи натуральных чисел, т. е. где и являются натуральными числами, многократно отображая первые два элемента -кортежа в натуральное число. Например, можно записать как . Затем отображается в 5, поэтому отображается в , затем отображается в 39. Поскольку другой 2-кортеж, то есть пара, такая как , отображается в другое натуральное число, разницы между двумя n-кортежами на один элемент достаточно, чтобы гарантировать, что n-кортежи отображаются в разные натуральные числа. Таким образом, инъекция из множества -кортежей в множество натуральных чисел доказана. Для множества -кортежей, созданного декартовым произведением конечного числа различных множеств, каждый элемент в каждом кортеже имеет соответствие натуральному числу, поэтому каждый кортеж можно записать в натуральных числах, затем та же логика применяется для доказательства теоремы. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (0,2,3)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (0,2)}$ ${\displaystyle ((0,2),3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (5,3)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n}$

Теорема  —  Декартово произведение конечного числа счетных множеств счетно. ^{[21] [б]}

Множество всех целых чисел и множество всех рациональных чисел может интуитивно казаться намного больше, чем . Но внешность может быть обманчива. Если рассматривать пару как числитель и знаменатель вульгарной дроби ( дроби в форме , где и являются целыми числами), то для каждой положительной дроби мы можем придумать отдельное натуральное число, соответствующее ей. Это представление также включает натуральные числа, поскольку каждое натуральное число также является дробью . Таким образом, мы можем заключить, что существует ровно столько же положительных рациональных чисел, сколько и положительных целых чисел. Это также верно для всех рациональных чисел, как можно увидеть ниже. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n/1}$

Теорема  —  (множество всех целых чисел) и (множество всех рациональных чисел) счетны. ^[c] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Аналогично, множество алгебраических чисел счетно. ^{[23] [d]}

Иногда полезно более одного отображения: множество, которое должно быть показано как счетное, взаимно однозначно отображается (инъекция) в другое множество , тогда доказывается как счетное, если взаимно однозначно отображается на множество натуральных чисел. Например, множество положительных рациональных чисел может быть легко взаимно однозначно отображено на множество пар натуральных чисел (двоек), поскольку отображается на . Поскольку множество пар натуральных чисел взаимно однозначно отображается (на самом деле взаимно однозначное соответствие или биекция) на множество натуральных чисел, как показано выше, множество положительных рациональных чисел доказывается как счетное. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Теорема  —  Любое конечное объединение счетных множеств счетно. ^{[24] [25] [e]}

С предусмотрительностью знания того, что существуют несчетные множества, мы можем задаться вопросом, можно ли продвинуть этот последний результат дальше. Ответ «да» и «нет», мы можем расширить его, но для этого нам нужно принять новую аксиому.

Теорема  —  (Предполагая аксиому счетного выбора ) Объединение счетного числа счетных множеств счетно. ^[f]

Перечисление счетного числа счетных множеств

Например, если заданы счетные множества , мы сначала назначаем каждому элементу каждого множества кортеж, затем назначаем каждому кортежу индекс, используя вариант треугольного перечисления, который мы видели выше: ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$ $${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}}$$

Нам нужна аксиома счетного выбора, чтобы индексировать все множества одновременно. ${\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots }$

Теорема  —  Множество всех последовательностей натуральных чисел конечной длины счетно.

Это множество является объединением последовательностей длины 1, последовательностей длины 2, последовательностей длины 3, каждая из которых является счетным множеством (конечным декартовым произведением). Таким образом, мы говорим о счетном объединении счетных множеств, которое счетно по предыдущей теореме.

Теорема  —  Множество всех конечных подмножеств натурального ряда счетно.

Элементы любого конечного подмножества можно упорядочить в конечную последовательность. Существует только счетное число конечных последовательностей, поэтому также существует только счетное число конечных подмножеств.

Теорема  —  Пусть и — множества. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

1. Если функция инъективна и счетна, то счетна. ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$
2. Если функция сюръективна и счетна, то счетна. ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

Они следуют из определений счетных множеств как инъективных/сюръективных функций. ^[g]

Теорема Кантора утверждает, что если— множество и— его мощность , т. е. множество всех подмножеств, то не существует сюръективной функции изв. Доказательство дано в статье Теорема Кантора . Как непосредственное следствие этого и Основной теоремы выше имеем: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

Предложение  —  Множество не счетно, т. е. оно несчетно . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Для более подробного изучения этого результата см. диагональный аргумент Кантора .

Множество действительных чисел несчетно, ^[h] как и множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.

Минимальная модель теории множеств является счетной.

Если существует множество, которое является стандартной моделью (см. Внутренняя модель ) теории множеств ZFC, то существует минимальная стандартная модель (см. Конструируемая вселенная ). Теорема Лёвенгейма–Сколема может быть использована для того, чтобы показать, что эта минимальная модель является счетной. Тот факт, что понятие «несчетности» имеет смысл даже в этой модели, и в частности, что эта модель M содержит элементы, которые являются:

• подмножества M , следовательно, счетные,
• но неисчислимое с точки зрения M ,

считалось парадоксальным на заре теории множеств; для получения более подробной информации см. парадокс Скулема .

Минимальная стандартная модель включает в себя все алгебраические числа и все эффективно вычислимые трансцендентные числа , а также многие другие виды чисел.

Всего заказов

Счетные множества можно полностью упорядочить различными способами, например:

• Хорошо-порядковые номера (см. также порядковый номер ):
  • Обычный порядок натуральных чисел (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
  • Целые числа в порядке (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
• Другие ( не очень хорошие заказы):
  • Обычный порядок целых чисел (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
  • Обычный порядок рациональных чисел (нельзя явно записать в виде упорядоченного списка!)

В обоих примерах хорошо организованных порядков здесь любое подмножество имеет наименьший элемент ; и в обоих примерах нехорошо организованных порядков некоторые подмножества не имеют наименьшего элемента . Это ключевое определение, которое определяет, является ли общий порядок также хорошо организованным.

Смотрите также

• Число алеф
• Подсчет
• Парадокс Гильберта о Гранд-Отеле
• Несчетное множество

Примечания

1. между и существует очевидная биекция , не имеет значения, считать ли 0 натуральным числом или нет. В любом случае, эта статья следует ISO 31-11 и стандартному соглашению в математической логике , которое принимает 0 как натуральное число. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}}$
2. Доказательство: Заметим, что является счетным как следствие определения, поскольку функция, заданная инъективна. ^[22] Из этого следует, что декартово произведение любых двух счетных множеств является счетным, поскольку если и являются двумя счетными множествами, то существуют сюръекции и . Так что является сюръекцией из счетного множества в множество и следствие влечет счетность. Этот результат обобщается на декартово произведение любого конечного набора счетных множеств, и доказательство следует индукцией по числу множеств в наборе. ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}$ ${\displaystyle g:\mathbb {N} \to B}$ ${\displaystyle f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A\times B}$
3. Доказательство: Целые числа счетны, поскольку функция, заданная , если неотрицательна, а если отрицательна, является инъективной функцией. Рациональные числа счетны, поскольку функция, заданная , является сюръекцией из счетного множества в рациональные числа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(n)=2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=3^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle g(m,n)=m/(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. Доказательство: По определению, каждое алгебраическое число (включая комплексные числа) является корнем многочлена с целыми коэффициентами. Для данного алгебраического числа , пусть будет многочленом с целыми коэффициентами, таким, что является -ым корнем многочлена, где корни сортируются по абсолютному значению от меньшего к большему, а затем сортируются по аргументу от меньшего к большему. Мы можем определить функцию инъекции (т. е. один к одному) заданную как , где является -ым простым числом . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n}$
5. Доказательство: Если — счетное множество для каждого из , то для каждого существует сюръективная функция и, следовательно, функция, заданная как , является сюръекцией. Поскольку — счетно, объединение счетно. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}}$ $${\displaystyle G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},}$$ ${\displaystyle G(i,m)=g_{i}(m)}$ ${\displaystyle I\times \mathbb {N} }$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
6. Доказательство : Как и в конечном случае, но и мы используем аксиому счетного выбора , чтобы выбрать для каждого в сюръекции из непустого набора сюръекций от до . ^[26] Обратите внимание, что поскольку мы рассматриваем сюръекцию , а не инъекцию, нет требования, чтобы множества были непересекающимися. ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
7. Доказательство : Для (1) заметьте, что если счетно, то существует инъективная функция . Тогда, если инъективно, то композиция инъективна, поэтому счетно. Для (2) заметьте, что если счетно, то либо пусто, либо существует сюръективная функция . Тогда, если сюръективно, то либо и оба пусты, либо композиция сюръективна. В любом случае счетно. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h:T\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle h\circ f:S\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:\mathbb {N} \to S}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g\circ h:\mathbb {N} \to T}$ ${\displaystyle T}$
8. См. первое доказательство несчетности Кантора , а также Свойство конечного пересечения#Приложения для топологического доказательства.

Цитаты

1. Манетти, Марко (19 июня 2015 г.). Топология. Спрингер. п. 26. ISBN 978-3-319-16958-3.
2. Рудин 1976, Глава 2
3. Тао 2016, стр. 181
4. Камке 1950, стр. 2
5. Lang 1993, §2 главы I
6. Апостол 1969, стр. 23, Глава 1.14
7. Тьерри, Виалар (4 апреля 2017 г.). Справочник по математике. BoD - Книги по запросу. стр. 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.
8. Мукерджи, Субир Кумар (2009). Первый курс реального анализа. Academic Publishers. стр. 22. ISBN 978-81-89781-90-3.
9. Якуб, Аладдин М. (24 октября 2014 г.). Введение в металогику. Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.
10. Сингх, Тедж Бахадур (17 мая 2019 г.). Введение в топологию. Springer. стр. 422. ISBN 978-981-13-6954-4.
11. Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2 января 2018 г.). Иллюстративное введение в современный анализ. CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.
12. Халмош 1960, стр. 91
13. Камке 1950, стр. 2
14. Длаб, Властимил; Уильямс, Кеннет С. (9 июня 2020 г.). Приглашение в алгебру: сборник ресурсов для учителей, студентов старших курсов и аспирантов по математике. World Scientific. стр. 8. ISBN 978-981-12-1999-3.
15. Тао 2016, стр. 182
16. Стиллвелл, Джон С. (2010), Дороги к бесконечности: Математика истины и доказательства, CRC Press, стр. 10, ISBN 9781439865507, Открытие Кантором несчетных множеств в 1874 году стало одним из самых неожиданных событий в истории математики. До 1874 года бесконечность даже не считалась законным математическим предметом большинством людей, поэтому необходимость различать счетные и несчетные бесконечности не могла быть и вообразима.
17. Кантор 1878, стр. 242.
18. Феррейрос 2007, стр. 268, 272–273.
19. "Что такое наборы и форма состава?". expii . 2021-05-09. Архивировано из оригинала 2020-09-18.
20. Халмош 1960, стр. 91
21. Халмош 1960, стр. 92
22. Авелсгаард 1990, стр. 182
23. Камке 1950, стр. 3–4.
24. Авелсгаард 1990, стр. 180
25. Флетчер и Патти 1988, стр. 187
26. Хрбачек, Карел; Йех, Томас (22 июня 1999 г.). Введение в теорию множеств, третье издание, исправленное и расширенное. CRC Press. стр. 141. ISBN 978-0-8247-7915-3.

Ссылки

• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Многомерное исчисление и линейная алгебра с приложениями , Calculus, т. 2 (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley + Sons, ISBN 978-0-471-00007-5
• Авелсгаард, Кэрол (1990), Основы высшей математики , Скотт, Форесман и компания, ISBN 0-673-38152-8
• Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1878 (84): 242–248, doi : 10.1515/crelle-1878-18788413, S2CID  123695365
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е пересмотренное издание), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Флетчер, Питер; Патти, К. Уэйн (1988), Основы высшей математики , Бостон: PWS-KENT Publishing Company, ISBN 0-87150-164-3
• Халмос, Пол Р. (1960), Наивная теория множеств , D. Van Nostand Company, Inc.Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Камке, Эрих (1950), Теория множеств , серия Дувр по математике и физике, Нью-Йорк: Дувр, ISBN 978-0486601410
• Ланг, Серж (1993), Действительный и функциональный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
• Тао, Теренс (2016). «Бесконечные множества». Анализ I. Тексты и чтения по математике. Т. 37 (Третье изд.). Сингапур: Springer. С. 181–210. doi :10.1007/978-981-10-1789-6_8. ISBN 978-981-10-1789-6.